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TRIANGOLO DI TARTAGLIA

matematica




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TRIANGOLO DI TARTAGLIA


Prodotto notevole , cioè alla potenza n-esima.

Sappiamo già risolvere:

Adesso volendo sviluppare e procedendo in modo analogo si potrebbe risolvere: . Per gli sviluppi di si potrebbe operare nel modo appena descritto, ma risulterebbe molto laborioso e complicato.


Al fine di ricercare la soluzione del prodotto notevole, disponiamo i coefficienti dei prodotti notevoli in uno schema triangolare.


Coefficienti di               1


  Coefficienti di   1 1


 

  Coefficienti di                         1 2 1


 

 

  Coefficienti di             1 3 3 1

Coefficienti di 1 4 6 4 1

La legge di formazione di questo triangolo di numeri è evidenziata dalle frecce e dal segno +. Se vogliamo trovare un valore (es n=4) dobbiamo sommare i numeri della riga precedente, così troviamo il secondo valore del coefficiente e così via.

Considerazione: ogni sviluppo ha un termine in più del precedente; i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti degli estremi sono uguali; lo sviluppo di contiene termini, il primo è e l'ultimo è .

Proseguendo nella costruzione di altre righe di questo triangolo, detto TRIANGOLO DI TARTAGLIA, si possono ottenere i coefficienti degli sviluppi di per qualsiasi valore di n.

1

1 1

                           1 2 1

                1 3 3 1

   1 4 6 4 1

   1 5 10 10 5 1

    .......... ..... ...... ...
Ora volendo risolvere il prodotto notevole di prima:

basta fare riferimento a e si ha

in questo non conosciamo direttamente i coefficienti e come spiegato prima si sommano le cifre della riga precedente, il primo valore trovato della somma è il secondo coefficiente. In questo caso è: . I numeri sono stati trovati in questo modo (; e così via).


ESEMPIO

Calcoliamo il seguente prodotto notevole .

Dallo schema del triangolo di tartaglia si ha:

Svolgendo i calcoli si ha:







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