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Prodotto
notevole 
, cioè alla potenza n-esima.
Sappiamo già risolvere:
Adesso
volendo sviluppare 
e procedendo in modo
analogo si potrebbe risolvere: 
. Per gli sviluppi di 
si potrebbe operare
nel modo appena descritto, ma risulterebbe molto laborioso e complicato.
Al
fine di ricercare la soluzione del prodotto notevole, disponiamo i coefficienti
dei prodotti notevoli 
in uno schema
triangolare.
Coefficienti
di 
1
Coefficienti di 
1 1
Coefficienti di 
1 2 1
Coefficienti di 
1 3 3 1Coefficienti
di 1 4 6 4 1
La legge di formazione di questo triangolo di numeri è evidenziata dalle frecce e dal segno +. Se vogliamo trovare un valore (es n=4) dobbiamo sommare i numeri della riga precedente, così troviamo il secondo valore del coefficiente e così via.
Considerazione: ogni
sviluppo ha un termine in più del precedente; i coefficienti dei termini
estremi e di quelli equidistanti degli estremi sono uguali; lo sviluppo di 
contiene 
termini, il primo è 
e l'ultimo è 
.
Proseguendo
nella costruzione di altre righe di questo triangolo, detto TRIANGOLO DI
TARTAGLIA, si possono ottenere i coefficienti degli sviluppi di per qualsiasi valore
di n.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
.......... ..... ...... ...
Ora volendo risolvere il prodotto notevole di prima:
basta fare riferimento
a e si ha 
in questo non
conosciamo direttamente i coefficienti e come spiegato prima si sommano le
cifre della riga precedente, il primo valore trovato della somma è il secondo
coefficiente. In questo caso è: 
. I numeri sono stati trovati in questo modo (
; 
e così via).
ESEMPIO
Calcoliamo il seguente prodotto notevole 
.
Dallo
schema del triangolo di tartaglia si ha: 
Svolgendo
i calcoli si ha:
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