LE DERIVATE - Definizione di derivata

matematica

LE DERIVATE.

Definizione di derivata:

Il limite del rapporto incrementale al  tendere a 0 dell'incremento della variabile indipendente x se esiste ed è finito si chiama DERIVATA della funzione calcolata nel punto x:

lim 

Da un punto di vista geometrico la derivata di una funz 212d34c ione calcolata in un punto corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente condotta per quel punto alla funzione o ciò che è lo stesso alla tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla retta tangente alla funzione in quel punto con la direzione positiva dell'asse ruotando in senso antiorario: f'(x) = m

Quando in una curva esiste il limite destro e sinistro del rapporto incrementale ed entrambi sono finiti ma non coincidenti (geometricamente in un intorno di x la curva in quel punto ammette due rette tangenti distinte) in quel punto si dice NON DERIVABILE.

Derivate fondamentali:

D k = 0 9. D

D x = 1 10. D

3. D senx = cosx 11. D

4. D cosx = -senx 12. D

5. D e 13. D

6. D a 14. D

7. D logx = 1/x 15. D

8. D log

Operazioni:

SOMMA: Date 2 o più funzioni derivabili in un assegnato intervallo )a;b( la derivata della somma di tali

funzioni è uguale alla somma delle derivate di tali funzioni.

f(x) + g(x) = f'(x) + g'(x)

PRODOTTO: Date 2 o più funzioni derivabili in un assegnato intervallo )a;b( la derivata del prodotto di

tali funzioni è la somma dei vari prodotti che si ottengono derivando ciascun fattore e

lasciando gli altri non derivati.

f(x) * g(x) = f'(x) * g (x) + g'(x) * f(x)

QUOZIENTE: Date 2 o più funzioni derivabili in un assegnato intervallo )a;b( la derivata del quoziente

di tali funzioni è il quoziente fra la differenza dei vari prodotti che si ottengono

derivando ciascun fattore lasciando gli altri non derivati e il quadrato del divisore.

Derivate composte:

TEOREMA:

Sia data la funzione composta y = f con funzioni componenti y = f(t) e t = g(x), entrambi derivabili; esiste allora la derivata del prodotto della funzione composta ed essa è uguale al prodotto delle derivate delle funzioni componenti, cioè y' = f'(t) * g'(x)