LE OMOTETIE

matematica

LE OMOTETIE

Oltre alle trasformazioni isometriche, esistono anche delle trasformazioni che non conservano le lunghezze dei segmenti.

Una di queste trasformazioni è l'omotetia, dove, pur variando la lunghezza dei segmenti che si corrispondono, si mantiene costante il loro rapporto.

Un'omotetia è una trasformazione in cui tutte le lunghezze s'ingrandiscono o si rimpiccioliscono nello stesso rapporto in tutte le direzioni.

Ogni omotetia è caratterizzata da un punto O, ossia il centro dell'omotetia, e da un numero reale k, cioè il rapporto dell'omotetia.

L'omotetia può essere spiegata nel seguente modo:

Fissiamo un punto O in un piano

Fissiamo un altro punto P nello stesso piano;

Tracciamo la retta che passa per i punti OP.

A questo punto fissiamo un numero reale k, sappiamo che esiste un solo punto P per cui vale la relazione OP /OP = k.

Se è k > 0 allora il punto P' ed il punto P si trovano dalla stessa parte rispetto ad O;

Se è k < 0 allora il punto P' si trova dalla parte opposta di P rispetto ad O;

Se è k = 0 allora il segmento OP' è nullo e quindi qualunque punto P ha come corrispondente il punto O.

L'omotetia escludendo il caso in cui k = 0 è una corrispondente biunivoca fra i punti di α.

Ora possiamo passare alla rappresentazione dell'omotetia sul piano cartesiano.

Dato il punto P (x, y), il suo corrispondente in tale trasformazione deve appartenere alla retta OP e deve essere tale che OP'/OP = k.

La relazione che c'è tra P e P' è la stessa che c'è tra le coordinate. Indichiamo allora con (x', y') le coordinate del punto P' ed otteniamo che:

x' = kx

y' = ky

Queste sono le equazioni della trasformazione in cui moltiplico entrambe le coordinate del punto P per il rapporto d'omotetia k.

Ora vediamo come si trasforma un grafico di una funzione in un'omotetia ed otteniamo le seguenti equazioni:

x = (1/k) x'   x x/k

y = (1/k) y'   y y/k

Possiamo anche dire che:

Se è k > 1 allora si ha un ingrandimento ;

Se è k < 1 allora si ha una riduzione.