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Le derivate

matematica


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Le derivate.


La derivata assume vari significati in ambito delle discipline scientifiche. Ad esempio in fisica la derivata della funzione s(t), cioè dello spazio, è la funzione velocità e si scrive s'(t) = v(t). Infatti, la derivata in fisica ci permette d 555e46f i calcolare la velocità istantanea, cosa che altrimenti non potremmo fare dovendoci accontentare della velocità media.

La derivata si può definire, nel caso di un piano inclinato, come la pendenza P del piano stesso.




fig.01



Infatti, se consideriamo un triangolo rettangolo in cui l'ipotenusa rappresenta il piano inclinato, la pendenza è data dal rapporto dei due cateti, in cui un cateto rappresenta il dislivello D e l'altro la distanza D. Anche qui se non avessimo a disposizione la derivata dovremmo accontentarci di calcolare la pendenza solo di tratti rettilinei e non, per esempio, su tratti curvi in cui nasce il bisogno di calcolare una pendenza P "istantanea", cosa che la derivata ci permette di fare.



fig.02


In campo matematico la derivata assume due significati:

Significato geometrico

Significato analitico.



Significato geometrico. Se abbiamo una funzione ipotetica y = f(x) definita in un intervallo (a, b) e indichiamo con x0 un punto interno a questo intervallo, e se calcoliamo la tangente nel punto P avremo il seguente grafico:



fig.03



la derivata è la tangente trigonometrica dell'angolo a


f (xo) = tg a


dove la tangente è data dal rapporto sen a / cos a

Vediamo così che l'esistenza della derivata è legata all'esistenza della tangente alla curva di equazione y = f(x) e tg a = f (x0) deve essere finito.

In altre parole, la tangente non deve essere parallela all'asse y.

Una curva continua può in certi casi non ammettere la tangente, o averne una parallela all'asse y e quindi per i valori corrispondenti di x, la f(x) non ha derivate.


Significato analitico. Essendo la tangente geometrica la retta che passa per due punti infinitamente vicini, se ingrandiamo il punto dove la tangente tocca la funzione, noteremo che la tangente non sarà più tale, ma sarà una secante poiché tocca la funzione in due punti; dove Dx sarà l'incremento della variabile,mentre Dy l'incremento della funzione.




fig.04                      



Il rapporto Dy/Dx si chiama rapporto incrementale ; questo rapporto cambia al cambiare di Dy , purché Dx non esca dall'intervallo (a, b) dove la f(x) è definita.

Si chiama derivata della funzione f(x) nel punto x0 il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale al tendere a zero.


Lim Dy/Dx = f (x0) = tg a

Dx > 0








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