Caricare documenti e articoli online 
INFtub.com è un sito progettato per cercare i documenti in vari tipi di file e il caricamento di articoli online.
Meneame
 
Non ricordi la password?  ››  Iscriviti gratis
 

IL CALCOLO LETTERALE ED EQUAZIONI DI I GRADO - ESPRESSIONI LETTERALI

matematica




Inviare l'articolo a Facebook Inviala documento ad un amico Appunto e analisi gratis - tweeter Scheda libro l'a WhatsApp - corso di

IL CALCOLO LETTERALE ED EQUAZIONI DI I GRADO



ESPRESSIONI LETTERALI



Ci è capitato più volte di esprimere le proprietà delle operazioni usando le lettere al posto dei numeri, quando tali proprietà valevano indipendentemente dai numeri particolari. Un uso molto frequente delle lettere si registra in geometria, quando vengono date le formule per calcolare aree o volumi di figure o solidi geometrici. Ad esempio l'area del trapezio è sintetizzata nella formula




B+b

A(dep. A B C D) = ____ *h



e questo vale per qualsiasi trapezio ABCD con base maggiore B, base minore b e altezza h, quali che siano le loro misure in ogni trapezio particolare.

Fin qui abbiamo considerato espressioni aritmetiche numeriche; consideriamo ora espressioni letterali, quelle espressioni cioè in cui compaiono lettere, accompagnate o no da numeri. Ad esempio la formula che esprime l'area del trapezio è un'espressione letterale, in cui figura anche il numero 1/2. Infatti tale formula può essere scritta così:



A(dep. A B C D) = (B+b)*h * _



Notiamo ora, poiché lo faremo sempre in seguito, che invece di usare il segno, per indicare il prodotto accosteremo semplicemente i numeri alle lettere o le lettere alle lettere. Somma, differenza e divisione saranno indicate invece coi soliti segni.

Consideriamo la seguente espressione letterale:



3a + _ bý - ab.



Se noi sostituiamo ad a e b numeri particolari, si dice che calcoliamo il valore dell'espressione per quei numeri. Poniamo ad esempio a = 1 e b = 2; sostituiamo questi valori ad a e b nell'espressione; abbiamo


1

3*1 + - * 2ý - 1*2 = 3 + - * 4 - 2 = 3 + 2 - 2 = 3.

2


Diciamo che il valore dell'espressione per a = 1 e b = 2 è il numero 3.

Le espressioni letterali consentono di sintetizzare in un'unica formula una serie infinita di calcoli. Prima abbiamo dato un esempio tratto dalla geometria, ora diamo un esempio tratto dal mondo reale. Supponiamo di volerci spostare in corriera da un centro abitato a un altro che dista 10 Km e che vi si arrivi in un tempo di 30 minuti. Chiediamoci: qual è la velocità oraria della corriera? E' facile rispondere: se in mezz'ora ha percorsoo km 10, in un'ora ne percorrerà 20. Quindi la velocità media della corriera è di 20 Km/h. Tuttavia questo calcolo per grandezze particolari è sintetizzato in una formula scoperta in fisica, che mette in relazione la velocità, il tempo e lo spazio percorso. Essa afferma:


v = s/t, cioè la velocità è uguale al rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo.


Nel nostro esempio, noi conosciamo lo spazio e il tempo; per conoscere la velocità basta calcolare il valore dell'espressione per s = 10 e t = 0,5 (posto in ore). Abbiamo allora


10 10

v = __ = 10*__ = 20

5 5

__

10


Facciamo ancora un altro esempio: un lavoratore guadagna L. 500.000 mensili e spende mensilmente L. 300.000 per spese varie. Quanto risparmia al netto delle spese dopo un anno?

Seguendo un modo di fare abituale diciamo 500.000-300.000 = 200.000, che è il risparmio mensile. Moltiplichiamo poi per 12 e otteniamo il risparmio annuale. Tuttavia se vogliamo risolvere questo problema non solo per il nostro lavoratore, che percepisce uno stipendio ben preciso, ma per qualsiasi stipendio e per qualsiasi spesa, troviamo la formula Ra = (Gm-Sm).12, dove Ra indica il risparmio annuo, Gm il guadagno mensile, Sm la spesa mensile.

Consideriamo ora particolari espressioni letterali.


Una espressione letterale che non contiene le operazioni di addizione e sottrazione si chiama monomio.


Sono monomi le seguenti espressioni: 3a22b,-(5a/b2), 7a2b2c2/15. Il fattore numerico posto davanti alla parte letterale si chiama coefficiente del monomio. In base a quanto abbiamo stabilito, i coefficienti vanno considerati come elementi di Q. Il coefficiente del primo dei monomi scritti sopra è 3, del secondo è -5, del terzo è 7/15.

Come per i numeri, anche per le espressioni letterali e per i monomi possiamo definire un'operazione di somma algebrica.


5

Consideriamo i monomi 3a, - - a;

4


essi hanno la parte letterale uguale pur avendo diversi coefficienti. Due monomi che hanno uguale parte letterale si dicono simili. Per calcolare la somma 2a + 4a ricordiamo la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma; abbiamo allora 2a + 4a = (2 + 4)a = 6a. Concludiamo perciò:




La somma algebrica di due monomi simili è il monomio simile ai dati che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.


Facciamo ancora un'esempio:


1 1 13

3aýb - - aýb + 4aýb = (3 - - + 4)aýb = -- aýb.

2 2 2


Questa operazione si dice anche riduzione di termini simili. Quando i monomi non sono simili (e quindi non si può applicare la proprietà distributiva) la somma algebrica di monomi si dice polinomio. Un polinomio è quindi una somma algebrica di monomi in cui già abbiamo operato la riduzione di termini simili. Consideriamo ad esempio questa somma algebrica:


1

3aýc + 4bý - - aýc + d;

3


riduciamo i termini della somma algebrica (cioè i monomi) simili:


1 8

(3 - -)aýc + 4bý + d = Ä- aýc + 4bý + d;

2 3


quest'ultimo è un polinomio. Ugualmente possiamo definire la somma algebrica di polinomi, seguendo per i segni le regole già esposte.

Ad esempio (3a2+b+4a2c)-(4a2-b+3d)+c2 = 3a2+b+4a2c-4a2+b-3d+c2; dopo aver tolto le parentesi riduciamo i termini simili e otteniamo:

(3-4)a2+(1+1)b+4a2c-3d+c2 = -a2+2b+4a2c-3d+c2: quest'ultimo polinomio è la somma algebrica voluta. Il prodotto e la divisione di monomi si eseguono ricordando le regole sui segni. Ad esempio


3 1 3

- aý*(-2ab): - cýb = - aý.

4 2 4


Semplificando abbiamo -3a3b2c2.


Il prodotto di un polinomio per un monomio si esegue considerando il monomio come numero e applicando la proprietà distributiva.


Un monomio è un prodotto di numeri e lettere;


1 1

cos - -- a(esp.3)c S il prodotto di - _ * a(esp.3)*c.

3 3


Possiamo perciò immaginare un polinomio come somma algebrica i cui addendi sono prodotti; allora è possibile applicare la proprietà distributiva raccogliendo a fattore comune ogni volta che nel polinomio ci sono termini contenenti lo stesso fattore.

Il prodotto di polinomi si esegue in virtù della stessa proprietà distributiva rispetto a somme. Concludiamo che:


Il prodotto di due polinomi è quel polinomio che si ottiene moltiplicando ciascun termine del primo per ciascun termine del secondo e facendo poi la somma algebrica dei prodotti ottenuti.


Per dividere un monomio per un altro si può procedere molto rapidamente considerando la divisione come frazione e poi semplificare con le regole già esposte per le frazioni. Ad esempio: 6a2b2c:3abc = 6a2b2c/3abc = 2ab. In questo caso si ottiene una frazione apparente: si dice che il monomio 6a2b2c è divisibile per il monomio 3abc; quando non ci troviamo in questa situazione otteniamo una frazione in cui numeratore e denominatore sono espressioni letterali, cioè monomi. Ad esempio 3a2b:4ac2d = 3a2b/4ac2d = 3ab/4c2d. La divisione di un polinomio per un monomio avviene nello stesso modo.

Se consideriamo l'insieme di tutti i polinomi vediamo che su di esso abbiamo definito somma, prodotto, sottrazione, divisione, e abbiamo detto che eseguendo queste operazioni otteniamo ancora un polinomio. Affermiamo allora, indicando con P l'insieme dei polinomi, che P è chiuso rispetto a queste operazioni. <P,+,.,-,:,> è un altro esempio di struttura come l'abbiamo definita nel capitolo degli insiemi numerici. Notiamo che la struttura di P è simile alla struttura di Q; si possono difatti eseguire le stesse operazioni.

Come esercizio calcoliamo i valori della seguente espressione (a+b)2. Avremo:

(a+b)2 =(a+b).(a+b) = a2+b2+ab+ab = a2+b2+2ab. Questa espressione dice che:


il quadrato della somma di due numeri è uguale al quadrato del primo più il quadrato del secondo più il doppio prodotto del primo per il secondo.


Verifichiamo tale espressione per a = 2 e b = 3. Allora abbiamo: (2+3)2 = 52 = 25; e 22+32+2.2.3 = 4+9+12 = 25. Vediamo inoltre che:

(a-b)2 = (a-b).(a-b) = a2-ab-ab+b2 = a2+b2-2ab. Cioè:


il quadrato della differenza di due numeri è uguale al quadrato del primo più il quadrato del secondo meno il doppio prodotto del primo per il secondo.


Verificate voi stessi tale espressione per a = 5 e b = 1/2.






Privacy




Articolo informazione


Hits: 4308
Apprezzato: scheda appunto

Commentare questo articolo:

Non sei registrato
Devi essere registrato per commentare

ISCRIVITI

E 'stato utile?



Copiare il codice

nella pagina web del tuo sito.


Copyright InfTub.com 2021