FUNZIONI - FUNZIONI E GRAFICI

Un sottoinsieme del piano cartesiano è il grafico di una funzione se ogni retta verticale lo incontra al massimo in un punto.

CARATTERISTICHE IMPORTANTI DELLE FUNZIONI

Una delle caratteristiche principali di una funzione f è il suo dominio, cioè l'insieme dei valori di "x" per i quali è assegnata un'immagine f(x)

Se una funzione è assegnata mediante un'espressione matematica in genere si considera come dominio il suo campo di esistenza, cioè l'insieme dei valori di "x" per i quali tale espressione ha senso.

Esempio: Il D della funzione y = \ x - 3 è [3;+∞] (sarebbe x≥3; quindi và da 3 a +∞).

1

Il D della funzione y = è l'insieme di tutti i n° reali esclusi -1 e 0 (sarebbe x≠0 e x≠1).

x (x-1)

Un gruppo importante di proprietà di una funzione riguardano la continuità, cioè l'assenza di salti, le simmetrie, gli asintoti, gli intervalli in cui è crescente o decrescente, i massimi e minimi, la concavità.

CONTINUITA'

Definizione: Una funzione f è continua in un punto x₀ del suo D se per ogni n° positivo Є esiste un n° reale positivo δ, tale che si abbia:

f(x₀) - Є < f(x) < f(x₀) + Є

per tutti i valori x Є (x₀ - δ, x₀ + δ)

Una funzione è continua, se soddisfa la proprietà enunciata in ogni punto x₀ del suo D.

Sapere che una certa funzione f(x) è continua ci permette anche di risolvere in modo più semplice una disequazione del tipo f(x) > 0.

Se f è definita e continua su tutto "I" e in esso non si annulla mai, allora i valori assunti da f in I sono tutti positivi o tutti negativi.

(x² - 2) (x + 1)

Esempio: Per calcolare la disequazione x (x + 3) > 0, determiniamo il D della funzione

(x² - 2) (x + 1)

f(x) = x (x + 3) e i punti in cui f(x) = 0.

Troviamo così D = R e i punti in cui si annulla -1, √-2, √2.

Sugli intervalli: I₁ = (- ∞; -3), I₂ = (-3; - √2), I₃ = (-√2; -1), I₄ = (-1; 0), I₅ = (-0; - √2), I₆ = (√2 + ∞) la funzione f è definita e mai nulla.

L'insieme delle soluzioni della disequazione così ottenuto è I₂ I₄ I₆.

SIMMETRIE (PARITA' DEL SEGNO)

Una funzione si dice pari se il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y.

Una funzione si dice dispari se il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine.

In simboli:

f è pari se f(-x) = f(x) per ogni valore x nel suo D;

f è dispari se f(-x) = - f(x) per ogni valore x nel suo D.

Quando una funzione non è né pari, ne dispari, si dice che la funzione non ha parità.

Esempio:

f (x) = x² + 2 FUNZIONE f (x) = x³ - x / 2 FUNZIONE

f (- x) = x² + 2  PARI f (- x) = - x³ + x / 2 DISPARI

f (- x) = x² + 3x + 1    NO

- f (x) = - x² + 3x - 1   PARITA'

ASINTOTI

Un asintoto è una retta che approssima un ramo del grafico di una funzione con qualsiasi precisione si voglia. Gli asintoti sono di 3 tipi:

• Asintoto Verticale: si pone il limite (della funzione) che tende ai risultati esclusi dal D e se il risultato finale sarà ± ∞ si avrà un A.V.

lim  f (x) = ∞

x→a

• Asintoto Orizzontale: si pone il limite a ± ∞ e se il risultato finale sarà un n°, si avrà un A.O., se invece il risultato ottenuto sarà ± ∞ si deve cercare l'A.Ob.:

lim f (x) = c

x→+

• Asintoto Obliquo: si cerca se non c'è l'A.O. Se c'è uno non c'è l'altro:

lim f (x) = ∞

x→+

Per trovare l'A.Ob. bisogna trovare m e q

m lim f (x) q = lim [ f (x) - mx]

x→+∞ x x→+

CRESCENZA E DECRESCENZA

Definizione: Una funzione f è crescente in un intervallo [a, b], tutto contenuto nel dominio, se la funzione conserva le disuguaglianze tra valori di x contenuti nell'intervallo. In simboli:

A x₁, x₂ [a, b], x₁ < x₂ f (x₁) ≤ f (x₂)

Definizione: Una funzione f è decrescente in un intervallo [a, b], tutto contenuto nel dominio, se la funzione rovescia le disuguaglianze tra valori di x contenuti nell'intervallo. In simboli:

A x₁, x₂ [a, b], x₁ < x₂   f (x₁) ≥ f (x₂)

CONCAVITA'

Definizione: Si dice che una funzione f volge la concavità verso l'alto in un intervallo [a, b], se il segmento congiungente 2 punti qualsiasi del grafico P e Q, sta al di sopra dell'arco del grafico.

Definizione: Si dice che una funzione f volge la concavità verso il basso in un intervallo [a, b], se il segmento congiungente 2 punti qualsiasi del grafico P e Q, sta al di sotto dell'arco del grafico.

Il punto in cui il grafico cambia concavità si dice punto di flesso.

I punti di flesso possono essere determinati mediante il segno della derivata seconda che permette di conoscere gli intervalli in cui la funzione ha la concavità rivolta verso l'alto o verso il basso.

MASSIMI E MINIMI

Massimo relativo: è un punto che divide una zona dove prima un punto cresceva e poi decresceva.

Minimo relativo: è un punto che divide una zona dove prima un punto decresceva e poi cresceva.

Un punto x₀ si chiama Massimo assoluto se l'ordinata corrispondente f (x₀) è il punto più alto o maggiore assunto sull'asse delle ordinate (asse y).

Un punto x₀ si chiama Minimo assoluto se l'ordinata corrispondente f (x₀) è il punto più basso assunto sull'asse delle ordinate (asse y).

Una funzione che è sempre decrescente o sempre crescente per ogni intervallo a; b del suo D si dice monotòna.