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La MATEMATICA FINANZIARIA

matematica


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La MATEMATICA FINANZIARIA si pone l’obiettivo di studiare le operazioni finanziarie, cioè i caratteri che riguardano scambi di somme di denaro nel tempo. Le OPERAZIONI FINANZIARIE sono operazioni che riguardano l’impiego di capitali che si presume non rimangano costanti nel tempo. Le operazioni finanziarie fondamentali sono capitalizzazione e sconto. INTERESSE è la somma che alla scadenza ci viene restituita quando diamo in prestito un capitale pe 222d38c r un certo periodo. MONTANTE somma del capitale iniziale (capitale prestato) con gli interessi maturati. VALORE ATTUALE quando effettuiamo un pagamento prima della scadenza abbiamo diritto ad uno sconto, la differenza fra il capitale iniziale e lo sconto prende il nome di valore attuale. Il TASSO DI INTERESSE UNITARIO è l’interesse prodotto in un anno da 12 € di capitale. La RELAZIONE che ha con il tasso percentuale è p = i * 100. REGIME FINANZIARIO sono le modalità con cui un prestito è stato concesso. I più significativi regimi finanziari sono:reg.di int.semplice, di sconto comm. E di int.composto. si dice ke si è in Regime di INT.SEMPLICE quando l’interesse è proporzionale al capitale e al tempo per tutta la durata dell’operazione. I=Cit

La legge di capitalizzazione in regime di int.semplice è M=C(1+it). Il fattore 1+it è detto fattore di capitalizzazione semplice. In regime di interesse semplice  l’interesse è rappresentato graficamente da una semiretta (o retta passante per l’origine degli assi) mentre il montante da una semiretta (o retta passante per il punto (0,1) parallelo alla semiretta dell’interesse infatti la semiretta che rappresenta il montante si ottiene si ottiene con una traslazione di quella dell’interesse e quindi sono parallele). TASSI PERIODALI e il tasso espresso in periodi dell’anno(bimestre, trimestre . )Si indica con Ik dove k indica quante voltatale periodo è contenuto nell’anno. Ad esempio i4 indica un tasso trimestrale perché in un anno ci sono 4 trimestri . si parla di capitalizzazione frazionaria quando il periodo di capitalizzazione è una frazione dell’anno. Quanto il tempo di impiego è espresso in anni e il tasso è periodale occorre invertire il tempo a seconda del tasso. Il METODO DEI DIVISORI FISSI è un sistema per calcolare gli interessi quando il tempo è in giorni. Cg/D Cg→numero D→divisore fisso (360/i)



SCONTO SEMPLICE o razionale:è l’interesse che la somma scontata (V.A.) producerebbe se venisse usata per un tempo uguale a quello per cui la somma sonteta è stata anticipata. VALORE ATTUALE di un capitale esigibile dopo un certo tempo t è la somma che, impiegata oggi a un determinato tasso in un regime finanziario stabilito, darà, dopo il tempo t un montante uguale al capitale.V=C/1+it Il fattore 1/1+it rappresenta il fattore di sconto semplice perché permette di individuare direttamente il valore della somma scontata. Il VALORE NOMINALE è il capitale C che alla scadenza varrà come il v.a.di oggi. La FUNZIONE valore attuale è una funzione decrescente del tempo e del tasso ed è espressa da un’iperbole equilatera avente come asintoti le rette di equazione V=0 e T=-1/t.Ci si trova in regime di SCONTO COMMERCIALE quando lo sconto è proporzionale al capitale nominale e al tempo di anticipo. La relazione è Sc=Cdt d=tasso di sconto commerciale unitario

Generalmente si usa per periodi di tempo inferiori all’anno. L’espressione del v.a. commerciale è V=C(1-dt) in cui (1-dt)rappresenta il fattore di sconto commerciale e consente di calcolare direttamente il v.a.del capitale e 1-dt>0 e t<1/d. se noi fissiamo il capitale e il tasso di sconto avremo una retta passante per il punto (0,1)in cui V è una funzione decrescente di T, mentre se fissiamo il valore del tempo e del tasso di sconto annuale la relazione è rappresentata da una retta passante per l’origine degli assi che al crescere di c crescerà anche il valore della somma scontata. La LEGGE DI CAP.COMM. dice che la formula del mont.comm. è Mc=C/1*dt in cui 1-dt >0 e t<1/d. la rappr.grafica è data da un arco di iperbole. La RELAZIONE che lega tasso di int.i a quello d è i=d/1-dt o d=i/1+it mentre se il tempo è unitario i=d/1-d o d=i/1+i.

REGIME DI INT:COMPOSTO capitalizzare gli interessi significa sommarli al capitale iniziale facendoli diventare fruttiferi.la capitalizzazione degli interessi si ha el reg.di int.composto.M=C(1+i)^t perché  M1=C(1+i)^t M2=M1(1+i)=C(1+i)(1+i)=C(1+i)^2 . (1+i)^t è il fattore di interesse composto e finanziariamente può essere indicato con il simbolo u^n. INTERPLORAZIONE LINEARE si usa per valori del tasso che non si trovano nelle tavole, .il valore ottenuto per l’interplorazione può essere approssimato per eccesso per difetto a seconda della concavità della curva;consiste nel sostituire il tratto di curva che va da A a B con la retta AB. Basta trovare l’eq.della retta pass.x2punti assegnati. Se conosciamo il valore della x della coordinata P’ se conosciamo il valore della x avremo .

Quando il tempo è espresso da un numero non intero di anni il montante può essere calcolato con l’interesse composto per gli anni interi e semplice per il tempo residuo quindi mediante la convenzione lineare (1+i)^t=(1+i)^n(1+if) oppure con la convenzione esponenziale. Se nel calcolo di un montante uso la convenzione lineare o quella esponenziale avrò risultati differenti perché confrontandoli in un grafico i punti della retta dell’interesse semplice hanno ordinate leggermente maggiori di quelli corrispondenti sulla curva esponenziale. SCONTO COMPOSTO la legge dello sconto in regime di interesse composto dice che il valore attuale di un capitale c esigibile fra tot anni, è quella somma che dopo un certo numero di anni al tasso annuo di interesse composto da come montante c. (1+i)^-t è il fattore di sconto composto, finanziariamente indicato con il simbolo v^n. la relazione che esprime il v.a.è una funzione esponenziale decrescente. Per il debitore è più conveniente lo sconto razionale se il tempo è inferiore all’anno e commerciale se > all’anno, mentre per i creditori è più conveniente applicare lo sconto commerciale. Due TASSI si dicono EQUIVALENTI se applicati allo stesso capitale e allo stesso tempo producono montanti ugualicome il tasso del 6% annuo è quello del 1,5%trimestrale. indicando con i il tasso unitario e con ik quello periodale, avremo:        e , mentre in regime di int.composto avremo e . il TASSO ANNUO NOMINALE convertibile k volte in un anno è il prodotto k*ik, si indica con jk e la relazione fra questo anno e quello periodale è . L’ ASSE DEI TEMPI è una retta orientata sulla quale vengono rappresentati i tempi. L’uso dell’asse dei tempi si rileva di grande utilità nei problemi che riguardano situazioni finanziarie complesse in cui le frecce indicano l’evoluzione del capital. Una legge finanziaria è SCINDIBILE quando delle operazioni danno come risultato 2 montanti uguali.la legge di cap.composta e quella di sconto composto sono scindibili. Una legge finanziaria è scindibile quando il montante non viene alterato anche se viene frazionato il tempo. Il PRINCIPIO DELL’EQUIVAL.FINANZIARIA dice che se abbiamo 2 capitali (c1 e c2)e 2 tempi (t1 e t2) c1 e c2 sono finanziariamente equivalenti se possedere c1 al tempo t1 e c2 al tempo t2 è indifferente dal punto di vista economico. I problemi a cui si può applicare il principio di equivalenza sono:PROBL.DEL CAP.UNICO (di fronte a più debiti scadenti in epoche diverse, ne sostituiamo uno solo da pagare ad una data fissata sempre allo stesso tasso annuo di interesse in modo che l’operazione sia equa.PROBL.DELLA SCAD.COMUNE (portare tutti i capitali al tempo 0 effettuando così tutte le operazioni di sconto perché la scadenza comune sicuramente potrà essere anteriore a tale data. SCADENZA MEDIA (quando supponiamo di avere diversi pagamenti da effettuare ognuno con una scadenza diversa dall’altra se vogliamo estinguere il debito in una sola volta.SOSTIT.DI PAGAMENTI quando suddividiamo il pagamento di uno opiù debiti in più somme con scadenze fissate. TASSO MEDIO DI IMPIEGO (se abbiamo più capitali ognuno impiegato ad un tasso diverso ma tutti per lo stesso tempo calcoliamo aquale tasso deve essere impegnato un unico capitale , somma dei vari capitali.






















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