Sen a>0   cos a>0 tg a>0

Sen a>0   cos a<0 tg a<0

Sen a<0   cos a>0 tg a<0

Sen a<0   cos a<0 tg a>0

Cosec a = 1/sen(a)

Sec (a)= 1/ cos(a)

Cotg (a) = 1/ tg(a)= Cos a / Sen a

Sin² a+ Cos²a=1 Prima relazione fondamentale della goniometria

Seno, coseno e tangente di angoli particolari

Sen a)= Sen a

Cos ( a)= Cosa

tg ( a)= tg a

Tangente e seno (e le loro funzioni inverse)sono particolari tipi di funzioni i cui grafici sono simmetrici rispetto all'origine, per cui

f (-x) = f (x)

Queste funzioni sono denominate funzioni dispari

Al contrario, se abbiamo che

f (-x)= f (x)

come ad esempio la funzione del coseno, il cui grafico è simmetrico rispetto all'asse y, la funzione è pari.

Formule goniometriche

Formule di addizione e sottrazione

Cos (a b) = cosa cosb + sina sinb

Cos (a+b) = cosa cosb sina sinb

Sin (a+b) = sina cosb + cosa sinb

Sin (a b) = sina cosb cosa sinb

Tg (a+b) = (tga + tgb) / (1 - tga tgb )

Tg (a- b) = (tga - tgb) / (1 - tga tgb )

Formule di duplicazione

Sen 2a=2 sina cosa=1- 2 sen²a

Cos 2a= Cos²a- Sin² a = 2 cos²a-1

Tg 2a= 2 tg a/ (1-tg²a)

Formule di bisezione

Sin² a/2=(1-cosa)/2

Cos² a/2=(1+cosa)/2

Tg² a/2=(1-cosa) / (1+cosa)

Formule di prostaferesi

Sin p+sin q = 2* (sin (p+q)/2)* (cos (p-q))

Sin p-sin q = 2* (cos (p+q)/2)* (sin (p-q))

Cos p+sin q = 2*(cos (p+q)/2)* (cos (p-q))

Sin p+sin q =(-2)* (sin (p+q)/2)* (sin (p-q))

Formule di Werner

Sina*sinb=1/2 (cos(a-b)- cos(a+b)

Cosa*cosb=1/2 (cos(a+b)+ cos(a-b)

Sina*cosb=1/2 (sin(a+b)+ sin(a-b)

Equazioni goniometriche

Un'equazione si dice goniometrica se in essa l'incognita compare come argomento di funzioni goniometriche

Angoli aventi un dato seno

Sin x=m

x=arcsin (m)+ k 360°    V x=180°- arcsin (m)+ k 360°

Angoli aventi un dato coseno

Cos x=n

x=arcos (n)+ k 360°    V x=- arcos (n)+ k 360°

Angoli aventi una data tangente

tg x=p

x=arctg (p)+ k 180°

Semplificazione di equazioni goniometriche

Se non compare il termine noto si tratta di un'equazione omogenea, posso dividere tutto per il coseno di x, ponendo cos(x)

Se l'equazione non è omogenea, ho due metodi possibili:

1. posso utilizzare le formule parametriche

a sin x + b cos x +c=0

Sin(x)= 2t / (1+t²)    Cos(x)= (1-t²) / (1+t²) con t= tg (x/2)

Ottenendo

2at+b-bt²+c+ct²=0  t² (c-b)+2 at +b+c=0 ( equazione di 2°grado in t)

2.Metto a sistema l'equazione con la prima relazione fondamentale della goniometria, trovando come soluzioni i punti di intersezione tra una retta e una circonferenza:

a sin x + b cos x +c=0

Sin² a+ Cos²a=1

Equazioni omogenee di 2°grado in seno e coseno

a sin² x + b cos x sin x +c cos²x=0 (con a 0, c

Posso dividere tutto per cos²x, ottenedo un'equazione di 2°grado in tg x

a tg²x+b tg x +c=0

Tale passaggio è possibile solo se i valori di x per cui cos x=0 non sono soluzioni. Ma poiché

Cos x =0 sin²x =1, si avrebbe

a*1+b*0+c*0=0 a=0

il che non può essere perché abbiamo posto a

Se abbiamo anche il termine noto (d) posso applicare la prima relazione fondamentale, trovando

a sin² x + b cos x sin x +c cos²x= (Sin² x+ Cos²x)*d