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La probabilitÓ nella concezione classica

matematica


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1)La probabilitÓ nella concezione classica


La probabilitÓ P (E) di un evento E Ŕ il rapporto fra il numero m dei casi favorevoli

(al verificarsi di E) e il numero n dei casi possibili, giudicati egualmente possibili(*):


P(E)=m/n;


la probabilitÓ Ŕ un numero razionale p compreso compreso tra 0 e 1:


se m =0, ossia se non esistono casi favorevoli al verificarsi dell'evento,

l'evento Ŕ detto impossibile e la sua probabilitÓ Ŕ nulla: P(E)=0;


se m=n, ossia se tutti i casi sono favorevoli al verificarsi dell'evento,

l'evento Ŕ detto certo e la sua probabilitÓ Ŕ 1: P(E)=1;



2)La probabilitÓ nella concezione frequentista (o st 515j97f atistica)


Si definisce frequenza relativa di un evento in n prove effettuate nelle stesse condizioni,il rapporto fra il numero k delle prove nelle quali l'evento si Ŕ verificato e il numero n delle prove effettuate:


f=k/n, dove 0<=f<=1





legge empirica del caso:In una serie di prove, ripetute un gran numero di volte, eseguite nelle stesse condizioni, la frequenza <<tende>> ad assumere valori prossimi alla probabilitÓ

dell'evento e, generalmente, l'approssimazione Ŕ tanto maggiore quanto

pi¨ numerose sono le prove eseguite


la probabilitÓ di un evento Ŕ la frequenza relativa in un numero di prove ritenuto <<sufficientemente>> elevato.


3) La probabilitÓ nella concezione soggettiva (o personale)


la probabilitÓ P(E) di un evento E Ŕ la misura del grado di fiducia che un individuo attribuisce, in base alle sue informazioni e alle sue opinioni, al verificarsi dell'evento E.


La probabilitÓ di un evento E, secondo l'opinione di un certo individuo, Ŕ il prezzo p che ritiene equo attribuire all'importo unitario, eseguibile al verificarsi di E.


4) La probabilitÓ nell'impostazione assiomatica


la nozione di evento Ŕ assunta come primitiva

un evento (passato,presente,o futuro) Ŕ descrivibile con una espressione linguistica nella quale si pu˛ associare un sottoinsieme dell'insieme universo U.

Si pu˛ identificare l'evento con il sottoinsieme associato alla espressione linguistica che lo descrive e traduce le operazione logiche sugli eventi in operazioniá fra sottoinsiemi.

- I sottoinsiemi costituiti da un solo elemento vengono detti eventi elementari.


Si definisce evento contrario dell'evento A, l'evento A che si verifica se e solo se non si verifica A, cioŔ A Ŕ il sottoinsieme complementare di A rispetto a U.


Si definisce somma logica (o unione) di due eventi A e B, l'evento A B che si verifica quando si verifica almeno uno degli eventi A o B.


Si definisce prodotto logico (o intersezione) di due eventi A e B, l'evento A B che si verifica se si verifica entrambi gli eventi A e B.


la probabilitÓ P(A) Ŕ una funzione che associa a ogni evento del campo degli eventi un numero reale, in modo che siano soddisfatti i seguenti assiomi:


1░ - P(A)>=0

2░ - P(U)=1

3░ - Se A e B sono incompatibili, ossia A B = , si ha:

P(A B)=P(A)+P(B).


La probabilitÓ secondo la concezione classica Ŕ un caso particolare

Della probabilitÓ secondo l'impostazione assiomatica.


5) ProbabilitÓ della somma logica degli eventi


la probabilitÓ della somma logica di due eventi Ŕ uguale alla somma delle probabilitÓ dei due eventi diminuita della probabilitÓ della intersezione dei due eventi.


P(A B)=P(A)+P(B) - P (A B);


Esempio(1)

Un'urna contiene 50 palline colorate; si estrae una pallina.

Calcolare la probabilitÓ di ottenere una pallina con il numero divisibile o per 2, o per 3, o per 5.

Eseguire il calcolo sia applicando la formula, sia calcolando direttamente i casi possibili e i casi favorevoli.


Che sia divisibile per 2) 25 / 50

Che sia divisibile per 3) 16 / 50

Che sia divisibile per 5) 10 / 50


P= P(A)+P(B)+P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C)+P(A B C



P=25/50+16/50+10/50- 8/50 - 5/50 - 3/50 + 1/50 = 36/50 =18/25



Esempio

Un'urna contiene 5 palline rosse, 6 bianche, 4 verdi. Si estraggono contemporaneamente 2 palline.

Calcolare la probabilitÓ che siano:

a) Due bianche e due verdi;

Almeno una rossa;


soluzioni:


a) P(A V) = (C6,2 / C15,2) + (C4,2 / C15,2)

b) P(RB RV RR)= ((C6,1 + C5,1) / C15,2) + ((C5,1 + C4,1) / C15,2) + (C5,1 / C15,2)



6) ProbabilitÓ condizionata. Eventi dipendenti e indipendenti


Si definisce probabilitÓ di un evento A condizionata (o subordinata) All'evento B - e si indica P(A/B) - la probabilitÓ del verificarsi di A nell'ipotesi che B si sia verificato.

Se B non si verifica, L'evento A/B non Ŕ definito.


P(A/B)= P(A B) / P(B).


L'impostazione assiomatica si definisce proprio come ProbabilitÓ

Di A condizionata a B la relazione:


P(A/B)= P(A B) / P(B). áSe P(B)


Due eventi si dicono stocasticamente indipendenti

(ossia dipendenti dal punto di vista del calcolo delle probabilitÓ), se


P(A) = P(A/B)


Se risulta P(A/B) > P(A), si dice che gli eventi sono correlati Positivamente, cioŔ l'informazione ha aumentato la probabilitÓ dell'evento A


se risulta P(A/B) < P(A), si dice che gli eventi sono correlati negativamente, cioŔ l'informazione ha diminuito la probabilitÓ dell'evento A.


esempio(1)

Si lanciano tre dadi. Calcolare la probabilitÓ che si abbiano tre facce uguali.


Soluzione

P= 1/D6,3 + 1/D6,3 + 1/D6,3 + 1/D6,3 + 1/D6,3 + 1/D6,3;

P= 6/ D6,3.



7) ProbabilitÓ del prodotto logico di eventi


P(A B ) =P(A)*P(B/A)


La probabilitÓ dell'evento composto, o del prodotto logico A B,

Uguale al prodotto della probabilitÓ di un evento per la probabilitÓ

Dell'altro condizionata al verificarsi del primo.


Se gli eventi sono stocasticamente indipendenti, cioŔ P(A/B)=P(A) ,

oppure P(B/A)=P(B) Allora il teorema delle probabilitÓ composte diventa:


P(A B) = P(A)*P(B)






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