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1)La probabilità nella concezione classica
La probabilità P (E) di un evento E è il rapporto fra il numero m dei casi favorevoli
(al verificarsi di E) e il numero n dei casi possibili, giudicati egualmente possibili(*):
P(E)=m/n;
la probabilità è un numero razionale p compreso compreso tra 0 e 1:
se m =0, ossia se non esistono casi favorevoli al verificarsi dell'evento,
l'evento è detto impossibile e la sua probabilità è nulla: P(E)=0;
se m=n, ossia se tutti i casi sono favorevoli al verificarsi dell'evento,
l'evento è detto certo e la sua probabilità è 1: P(E)=1;
2)La probabilità nella concezione frequentista (o st 515j97f atistica)
Si definisce frequenza relativa di un evento in n prove effettuate nelle stesse condizioni,il rapporto fra il numero k delle prove nelle quali l'evento si è verificato e il numero n delle prove effettuate:
f=k/n, dove 0<=f<=1
legge empirica del caso:In una serie di prove, ripetute un gran numero di volte, eseguite nelle stesse condizioni, la frequenza <<tende>> ad assumere valori prossimi alla probabilità
dell'evento e, generalmente, l'approssimazione è tanto maggiore quanto
più numerose sono le prove eseguite
la probabilità di un evento è la frequenza relativa in un numero di prove ritenuto <<sufficientemente>> elevato.
3) La probabilità nella concezione soggettiva (o personale)
la probabilità P(E) di un evento E è la misura del grado di fiducia che un individuo attribuisce, in base alle sue informazioni e alle sue opinioni, al verificarsi dell'evento E.
La probabilità di un evento E, secondo l'opinione di un certo individuo, è il prezzo p che ritiene equo attribuire all'importo unitario, eseguibile al verificarsi di E.
4) La probabilità nell'impostazione assiomatica
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la nozione di evento è assunta come primitiva un evento (passato,presente,o futuro) è descrivibile con una espressione linguistica nella quale si può associare un sottoinsieme dell'insieme universo U. Si può identificare l'evento con il sottoinsieme associato alla espressione linguistica che lo descrive e traduce le operazione logiche sugli eventi in operazioni fra sottoinsiemi. - I sottoinsiemi costituiti da un solo elemento vengono detti eventi elementari. |
Si definisce evento contrario dell'evento A, l'evento A che si verifica se e solo se non si verifica A, cioè A è il sottoinsieme complementare di A rispetto a U.
Si definisce somma logica (o unione) di due eventi A e B, l'evento A B che si verifica quando si verifica almeno uno degli eventi A o B.
Si definisce prodotto logico (o intersezione) di due eventi A e B, l'evento A B che si verifica se si verifica entrambi gli eventi A e B.
la probabilità P(A) è una funzione che associa a ogni evento del campo degli eventi un numero reale, in modo che siano soddisfatti i seguenti assiomi:
1° - P(A)>=0
2° - P(U)=1
3° - Se A e B sono incompatibili, ossia A B = , si ha:
P(A B)=P(A)+P(B).
La probabilità secondo la concezione classica è un caso particolare
Della probabilità secondo l'impostazione assiomatica.
5) Probabilità della somma logica degli eventi
la probabilità della somma logica di due eventi è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi diminuita della probabilità della intersezione dei due eventi.
P(A B)=P(A)+P(B) - P (A B);
Esempio(1)
Un'urna contiene 50 palline colorate; si estrae una pallina.
Calcolare la probabilità di ottenere una pallina con il numero divisibile o per 2, o per 3, o per 5.
Eseguire il calcolo sia applicando la formula, sia calcolando direttamente i casi possibili e i casi favorevoli.
Che sia divisibile per 2) 25 / 50
Che sia divisibile per 3) 16 / 50
Che sia divisibile per 5) 10 / 50
P= P(A)+P(B)+P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C)+P(A B C
P=25/50+16/50+10/50- 8/50 - 5/50 - 3/50 + 1/50 = 36/50 =18/25
Esempio
Un'urna contiene 5 palline rosse, 6 bianche, 4 verdi. Si estraggono contemporaneamente 2 palline.
Calcolare la probabilità che siano:
a) Due bianche e due verdi;
Almeno una rossa;
soluzioni:
a) P(A V) = (C6,2 / C15,2) + (C4,2 / C15,2)
b) P(RB RV RR)= ((C6,1 + C5,1) / C15,2) + ((C5,1 + C4,1) / C15,2) + (C5,1 / C15,2)
6) Probabilità condizionata. Eventi dipendenti e indipendenti
Si definisce probabilità di un evento A condizionata (o subordinata) All'evento B - e si indica P(A/B) - la probabilità del verificarsi di A nell'ipotesi che B si sia verificato.
Se B non si verifica, L'evento A/B non è definito.
P(A/B)= P(A B) / P(B).
L'impostazione assiomatica si definisce proprio come Probabilità
Di A condizionata a B la relazione:
P(A/B)= P(A B) / P(B). Se P(B)
Due eventi si dicono stocasticamente indipendenti
(ossia dipendenti dal punto di vista del calcolo delle probabilità), se
P(A) = P(A/B)
Se risulta P(A/B) > P(A), si dice che gli eventi sono correlati Positivamente, cioè l'informazione ha aumentato la probabilità dell'evento A
se risulta P(A/B) < P(A), si dice che gli eventi sono correlati negativamente, cioè l'informazione ha diminuito la probabilità dell'evento A.
esempio(1)
Si lanciano tre dadi. Calcolare la probabilità che si abbiano tre facce uguali.
Soluzione
P= 1/D6,3 + 1/D6,3 + 1/D6,3 + 1/D6,3 + 1/D6,3 + 1/D6,3;
P= 6/ D6,3.
7) Probabilità del prodotto logico di eventi
P(A B ) =P(A)*P(B/A)
La probabilità dell'evento composto, o del prodotto logico A B,
Uguale al prodotto della probabilità di un evento per la probabilità
Dell'altro condizionata al verificarsi del primo.
Se gli eventi sono stocasticamente indipendenti, cioè P(A/B)=P(A) ,
oppure P(B/A)=P(B) Allora il teorema delle probabilità composte diventa:
P(A B) = P(A)*P(B)
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