Funzione primitiva

ATTENZIONE: se gli intervalli non 323b15d fossero disgiunti

F' (x) =f (x) = → F (x) =

Limiti delle derivate

F'(x) = 1 = 1

Non è derivabile in 0, perché non è continua e perché i limiti

delle derivate sono diversi

F'(x) = 2 = 2

Oss. Per costruire la primitiva in un certo intervallo, occorre che f sia continua nello stesso.

Teorema

Esistono infinite primitive di una assegnata funzione

f (x) = 1 → F (x) = x + k (con k = costante)

f (x) =     F (x) =

K può assumere qualsiasi valore diverso per i 2 rami.

Teorema

Se F e G son due primitive di f in un intervallo, allora differiscono per una costante, cioè:

F (x) = G (x) + k

Dimostrazione:

D (F -G) = DF - DG = f -f = 0 (in tutto l'intervallo poiché F e G della stessa funzione f)

F'= f G'= f

Poiché la derivata di F-G = 0 nell'intervallo la funzione F - G deve essere costante, quindi:

F - G = K

Integrale indefinito

Def. Si dice integrale indefinito di f e si indica con:

dx

Ed è l'insieme di tutte le primitive.

Primitive di f(x)

Regola di scomposizione

P ( f g ) = P f Pg

P ( k * f ) = k Pf

Calcolare l'integrale indefinite di:

dx = + x + k

P = = P = P = P + P

= = = =

Regole di integrazione per parti

P (f*g) = Pf * g - P (Pf * g') Derivando deve essere = 0

Dimostrazione

Per dimostrare la formula deriverò l'equazione a destra per mostrare che tale

derivata è uguale a ( f * g).

D =

D

Oss. DPf = f

Derivata della primitiva di f = f

Richiamo

Primitive per scomposizione

• P (f g ) = Pf Pg (a)
• P ( k * f ) = k * P(f) (b)

Primitive di prodotto (integrazione per parti)

• P (f * g ) = (Pf) *g - P (Pf * g' )

ESERCITAZIONE SULL'INTEGRAZIONE PER PARTI

Calcolare il seguente integrale:

x sen x dx

↓

g f

Applico la formula:

P f = - cos x

g

(Pf) * g - P ( Pf g')

cos x * x - P ( -cosx * 1) = (Applico la regolaq sopraindicata in b, 1 è k cioè una costante)

= - x cos x + P (cos x) = x cos x + senx + k

NB = D Pf = f

Esercizio:

Calocolare il seguente integrale

dx = 1 logx

E' una forma elementare, se la derivo è calcolabile facilmente, dobbiamo pensare di riscrivere la funzione come 1 * f

Quindi:

1 * log x = applico la formula dell'ntegrazione per parti = x log x - P (x * ) = x log x - P (1)

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

f g Pf g Pf g'

Primitiva per sostituzione e primitiva di una funzione composta

Px f ( g (x) ) = Pt ( f (t) * (t) ) 

t =g (x)

x = (t)

dx = (t) * dt

f (x) dx = F (x) + k

F' (x) = f (x)

D F (x) = f (x) * dx

ESEMPIO

( 3x +2)³ dx

Facciamo la sostituzione:

(3x + 2) ³ dx = t ³ dt = t³ dt * + k

↓

3x + 2 = t³

g (x) = 3x + 2

f ( g (x) ) = (3x + 2 )³

Calcolo il differenziale: 

1 dx = → 1 dx = dt

Ricordiamo che = 3x + 2 e avremo quindi:

ESERCIZIO

↓

f (t) = sen t   t = -x+2 = g(x)

t = -x+2 → x = t+2

g (x) = -x+2 x = -t +2 = g(t)

dx = -dt

dt =

sostituisco t = -x+2 = cos (-x+2) + k

ALTRO METODO PER PRESENTARE LA REGOLA

Regola per sostituzione, supponiamo di over calcolare:

↓

t = g (x)

dt = g' (x) dx