PARTE TEORICA

Cosa è il limite?

Se f(x) una funzione reale, e c ed l sono dei numeri reali, dire che:

<< l è il limite di f(x) per x tendente a c >>, equivale a dire che:

<< se x è molto prossimo, ma non identico, a c, allora f(x) è molto vicino ad l >>

Questo fatto si esprime con la scrittura:

lim f(x) = l.

x->c

La definizione esatta di limite è la seguente:

Si dice che la funzione f(x), per x tendente a c, ha per limite il numero l, e si scrive:

lim f(x) = l,

x->c

quando in corrispondenza ad un arbitrario numero positivo E ( epsilon ), si può sempre determinare un intorno completo I del punto c,  tale che, per ogni x appartenente a tale intorno, escluso eventualmente c, risulti sempre soddisfatta la disequazione:

f(x)-l | < E.

cioè le disequazioni:

l - E < f(x) < l + E.

In pratica volendo verificare se un dato numero l è o no il limite di una data funzione f(x), al tendere della varibile x ad un certo numero c, si dovrà procedere nel modo seguente.

Si scriverà la disequazione, ove la lettera E indicherà un numero positivo qualsiasi, e poi si risolverà la disequazione. Se le soluzioni di questa formeranno, qualunque sia il numero positvo che si pensa attribuito alla lettera E, un intorno completo del punto c, escluso al più c, allora in base alla definizione data di limite, si potrà asserire che il numero l è proprio il limite della funzione per x tendente a c. Se invece la disequazione non ammette soluzioni, oppure se ne ammette, queste non formano, almeno per E abbastanza piccolo, un intorno completo del punto c, allora si dirà che l non è il limite di f(x) per x tendente a c.

Esempio:

Verificare che risulta:

lim ( 5x-1 ) = 9.

x->2

Per verificare ciò, dobbiamo provare che in corrispondenza ad un numero E>0, arbitrario e comunque piccolo, la seguente disequazione:

| 5x-1-9 | < E,

sia soddisfatta per tutti i valori della x che formano un intorno completo del punto 2.

La disequazione che si può anche scrivere: | 5x-10 | < E, equivale a:

10 - E < 5x < 10 + E, che è risolta per: 2 - E/5 < x < 2 + E/5,

che forma un intorno del punto 2.

Abbiamo provato quindi che, in corrispondenza al numero fissato E, esiste un intorno I del numero 2, di estremi

2 - E/5, 2 + E/5, per ogni x del quale risulta soddisfatta la disequazione | 5x-1-9 | < E. Ciò vuol dire che il limite della f(x)

è 9. Per capire il programma bisogna dare una definizione importante realiva alle funzioni: LA FUNZIONE CONTINUA.

Si dice funzione continua una funzione che verifica questi tre punti:

esiste il valore della funzione nel punto c,

esiste il limite della funzione per x -> c,

il limite coincide con il valore della funzione nel punto c.

Visto che il limite coincide con il valore della funzione nel punto c per trovare il limite basta sostituire alle x della funzione il valore di c

Esempio:

lim 2x - 4 =

x->3

lim 2 ( 3 ) - 4 =

x->3

lim 6 - 4 = 2

x->3

DESCRIZIONE DEL PROGRAMMA

Per cominciare il programma chiede di scegliere quale tra le 2 funzioni, lim sen(x)/x e lim sen(1/x) con x tendente a 0, studiare.

Dopo bisogna inserire il valore della x e il valore della E ( Si consiglia di utilizzare una epsilon molto piccola ). Il programma poi visualizzerà il valore di x e il suo corrispondente valore della f(x) dimezzando ogni volta il valore della x finquando esso è maggiore di epsilon.

LISTATO DEL PROGRAMMA

#include <iostream.h>

#include <conio.h>

#include <graphics.h>

#include <dos.h>

#include <math.h>

void dividi(float X, float eps)

cout<<'\n';

cout<<"Il limite di sin(x)/x S 1";

}

void dividi1(float X, float eps)

cout<<'\n';

cout<<"Il limite di sin(1/x) va da -1 a 1";

main()

while(!kbhit());

SPIEGAZIONE DELLE FUNZIONI

Funzione DIVIDI

Alla funzione dividi si devono passare due parametri, il valore di x e il valore di epsilon.

Tramite un ciclo for verrà calcolato e visualizzato il valore della f(x) sostituendo alle x della funzione sen(x)/x il valore x che verrà dimezzato finquando non è minore di epsilon.

Funzione DIVIDI1   

Alla funzione dividi1 si devono passare due parametri, il valore di x e il valore di epsilon.

Tramite un ciclo for verrà calcolato e visualizzato il valore della f(x) sostituendo alle x della funzione sen(1/x) il valore x che verrà dimezzato finquando non è minore di epsilon.

CONCLUSIONI

Abbiamo concluso che il limite di sin(x)/x è 1 e il limite di sin(1/x) oscilla tra -1 e 1.