i) Posto , ricavate la quantità di capitale per lavoratore, misurato in termini di unità di efficienza, di stato uniforme. (Ponete e ; risolvete quindi l'equazione di Solow che definisce la condizione di stato uniforme.)

ii) Ricavate il sentiero di stato uniforme della quantità di capitale per lavoratore, misurato in termini di unita fisiche.

iii) Ricavate il prodotto per lavoratore, misurato in unità fisiche, lungo la traiettoria di stato uniforme e il suo tasso di crescita.

2. Supponete ora un'economia a due settori, il primo dei quali produce beni e servizi, il secondo capitale umano. Sia la quantità di capitale umano di ogni lavoratore e la quota percentuale dei lavoratori dedicata alla produzione di beni e servizi. Supponete che la produzione di beni e servizi richieda l'impiego di capitale fisico ed umano secondo la relazione

con (2')

mentre la produzione di nuovo capitale umano richiede l'uso di solo capitale umano secondo la relazione

Queste tre relazioni sostituiscono le prime tre del modello precedente, mentre restano immutate le successive due.

i) Sia la quota percentuale costante del lavoro dedicata alla produzione di beni e servizi in stato uniforme. Tenuto conto che in stato uniforme devono inoltre essere uguali e costanti i tassi di variazione del prodotto per lavoratore e del capitale per lavoratore, mostrate che questi coincidono con il tasso di crescita del capitale umano per lavoratore. (Utilizzate la scomposizione del tasso di crescita nel prodotto nella somma dei tassi di crescita del capitale fisico e del capitale umano.)

ii) Determinate il sentiero del tasso di crescita del prodotto per lavoratore con .

iii) Supponete che un'economia sia in grado di realizzare un aumento della quote del lavoro destinato alla produzione di capitale umano - aumenta . Descrivete i processi che si determinano in tale economia a seguito di tale cambiamento.

3. Spiegate il concetto di tasso di disoccupazione di equilibrio. Mostrate le implicazioni per il funzionamento del mercato del lavoro dei diversi approcci a tale concetto.

Soluzione degli esercizi

Esercizio n. 1

Mankiw (3a ed., cap. 4, p. 59) e Blanchard (cap. 11, p. 291) esaminano un'applicazione numerica del modello di Solow con riferimento al caso di assenza di progresso tecnico e sulla base di una funzione della produzione di tipo Cobb-Douglas. Questo esercizio mira ad estendere quelle applicazioni al caso di progresso tecnico.

i) Siano

e

rispettivamente il prodotto per lavoratore e il capitale per lavoratore quando il lavoro è misurato in unità di efficienza. Per l'ipotesi di rendimenti costanti di scala, la funzione di produzione può essere espressa in termini intensivi utilizzando queste grandezze; si ha

Anche la relazione che definisce la variazione dello stock di capitale può essere convenientemente formulata in termini intensivi; dividendo tutti i termini della (5) per e tenendo conto della (1.2) si ottiene

Dalla definizione di nella (1.1), si ottiene

Ne segue che la relazione fra i tassi di crescita di queste grandezze è

dove g ed n sono i tassi di crescita dell'efficienza (progresso tecnico) e del lavoro, costanti nel tempo come risulta dalle equazioni (3) e (4) del modello; ovviamente la somma di tali grandezze è il tasso di crescita del lavoro misurato in unità di efficienza. Moltiplicando entrambi i lati della (1.5) per e tenendo conto della relativa definizione, si ricava infine

Possiamo ora sostituire la (1.6) nella (1.3) ed otteniamo così l'equazione di Solow che descrive la variazione dello stock di capitale per lavoratore misurato in unità di efficienza

In stato uniforme deve rimanere costante. Possiamo pertanto risolvere la (1.7) ponendo ; si ottiene

e inserendo i valori dei parametri indicati

ii) Definiamo il rapporto tra capitale e lavoro misurato in unità fisiche; tenuto conto della definizione (1.1) e con riferimento allo stato uniforme, si ha

La (1.10) descrive dunque il sentiero di crescita di stato uniforme di tale grandezza che, a differenza di , non rimane costante ma cresce al tasso g, che è il tasso di crescita dell'efficienza, ossia del progresso tecnico.

iii) Anche il prodotto per lavoratore misurato in unità fisiche cresce al tasso g come si può dedurre immediatamente dalla definizione

Esercizio n. 2

In questo esercizio si suppone che la crescita dell'efficienza del lavoro, cioè del capitale umano di ogni lavoratore, dipenda dalla quota del lavoro dedicata al settore dell'istruzione, come indicato dalla relazione (3').

i) Dalla funzione della produzione possiamo ricavare, secondo lo schema della contabilità della crescita, la seguente relazione fra tassi di variazione percentuale del prodotto , del capitale fisico e del capitale umano :

Tenuto conto che in stato uniforme per la (2') e che per la (3') . Si ha

Definendo ora i tassi di variazione del prodotto per lavoratore e del capitale per lavoratore misurati in unità fisiche, la (2.2) può essere riscritta come segue

Ma in stato uniforme i tassi di crescita del prodotto per lavoratore e del capitale per lavoratore devono essere uguali; imponendo tale condizione si ottiene

che mostra come anche nello schema teorico in esame queste grandezze crescono al tasso di crescita del "progresso tecnico", ora indicato come capitale umano, e come quest'ultimo dipende dalla quota del lavoro destinato all'attività di produzione di capitale umano.

ii) Definiamo e come nelle precedenti equazioni (1.1) e riformuliamo la funzione di produzione in termini intensivi come segue

Con procedimento analogo al precedente, l'equazione di Solow risulta quindi essere

Risolvendo per lo stock di capitale di stato uniforme si ottiene

Sostituendo i valori assegnati ai parametri, si ha

iii) Supponiamo che vi sia un aumento permanente di , ossia della quota del lavoro destinato alla formazione di capitale umano. L'effetto sul valore di stato uniforme del rapporto fra capitale fisico e capitale umano è identico a quello che si verifica nel modello di Solow con progresso tecnico esogeno, e precisamente una diminuzione, come si vede dalla Fig. 1 in cui l'intercetta fra la curva che descrive gli investimenti resi possibili dal risparmio e la retta che rappresenta gli investimenti necessari a mantenere invariato il rapporto fra capitale fisico e capitale umano si sposta verso sinistra. Ne segue che anche il prodotto per lavoratore, in termini di capitale umano, di stato uniforme diminuisce.

Se si considerano invece gli effetti sul capitale e sul prodotto per lavoratore misurato in termini di unità fisiche, per comprendere quanto accade è necessario riprendere le precedenti definizioni (1.10) e (1.11). Dalla prima, si ha

Si è quindi in presenza di due effetti di segno opposto: da un lato, diminuisce ; dall'altro, l'efficienza cresce più rapidamente. Poiché quest'ultimo termine dipende dal tempo, è chiaro che quanto più lontano è l'orizzonte temporale considerato, tanto maggiore la probabilità che il secondo effetto prevalga sul primo. Un aumento del tasso di crescita del capitale umano è quindi destinato a determinare un livello di prodotto per lavoratore più elevato, nonostante la iniziale caduta, come indicato nella Fig. 2.