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TEORIA DEI SEGNALI - SEGNALI CERTI

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TEORIA DEI SEGNALI


SEGNALI CERTI

GRANDEZZE ASSOCIATE AI SEGNALI (energia, potenza, media, mutua energia e potenza, invarianza per traslazione, durata convenzionale di un segnale)

SPAZI VETTORIALI DI SEGNALI (prodotto scalare=mutua energia o potenza, segnali ortogonali e paralleli, somme di se 414f51e gnali (Ex+y=Ex+Ey+2Re[Exy]), basi ortogonali ed ortonormali, coordinate, norma di un segnale, teorema di Parseval Ex,Px= |xk|2 ed Exy,Pxy= xkyk*)



SERIE E TRASFORMATA DI FOURIER (teorema di Parseval, trasformate di alcune funzioni, proprietà delle trasformate (vedi dopo), integrazione e derivazione dei segnali di energia).

CONVOLUZIONE TRA 2 SEGNALI (la trasformata è il prodotto delle trasformate, calcolo della convoluzione, proprietà: commutatività, durata T=Tx+Ty, traslazione nel tempo c(t-tx-ty)).

CORRELAZIONE PER SEGNALI DI ENERGIA (proprietà: Rxy(0)=Exy, Rxy(t)=R yx t), |Rxx(t)|<|Rxx(0)|, la trasformata dell' autocorrelazione X(f) , della mutua correlazione è X(f)Y (f) ( spettro di densità di mutua energia), invarianza per traslazioni) 

CORRELAZIONE PER SEGNALI DI POTENZA: proprietà: Rxy(0)=Pxy, Rxy(t)=R yx t |Rxx(t)|<|Rxx(0)|, segnali periodici Rxy(t xk*ykej2pft F[Rxy(t)]=spettro di densità di potenza, Rxx(t) è dello stesso periodo e precisamente Rxx(t)=1/T Rgg(t-kT)

ANALISI ARMONICA GENERALIZZATA (unificazione di segnali di energia e di potenza attraverso la Rxy(t) e Sx(f), proprietà della densità spettrale Sxy(f): Sx(f)=Ex o Px, è reale, non negativa e pari, Rxy=x(t) y (-t) (o Ryx a seconda di come lo si definisce) ,

SISTEMI LINEARI:

Proprietà: sovrapposizione degli effetti ( sistema lineare), permanenza (o stazionarietà), causalità, stabilità, istantaneità (o mancanza di memoria).

Risposta impulsiva h(t,t) cioè y(t)=T[x(t)]=(dimostrazione) (ipotesi di stazionarietà h(t t y(t)=x(t)*y(t), causalità , stabilità h(t) è al quadrato sommabile F[h(t)]).

funzione di trasferimento H(f)=M(f)ejj(f) (risposta in ampiezza e fase): (risposta ad un segnale armonico,sinusoidale e periodico, conseguenze dell'ipotesi di causalità sulla H(f), esempi di calcolo di H(f), H(f) nei circuiti, sistemi in serie Heq=H1 H2, in parallelo Heq=H1+H2, retroazione Heq=H1/(1-H1 H2), distorsione lineare, filtri).

Legame tra Rxx dell'ingresso e Ryy dell'uscita Ryx(t)=Rxx(t)*h(t jhh t)=h(t)*h*(-t)=funzione di autosistema, Ryy(t)=Rxx(t jhh t Sy(f)=Sx(f) H(f)

SISTEMI NON LINEARI (non si può definire h(t), aggiungono componenti frequenziali, esempi di dispositivi non lineari)

MODULAZIONE SU PORTANTI SINUSOIDALI A(t)cosy(t)=A(t)cos[2pf0t+j(t)]:

Inviluppo A(t), fase istantanea y(t) e frequenza istantanea y'(t)/2p; deviazione istantanea di fase e frequenza. In generale il segnale modulato è un passabanda, descrizione delle tre modulazioni.

Inviluppo complesso =A(t)ejj(t), segnale zx(t)= e loro interpretazione ( Zx(f)=2X+(f) e =Zx(f+f0) con x+(t)=segnale analitico), x+(t) si ottiene da x(t) tramite  (x+(t)=), x(t)=Re[zx(t)]

trasformata di hilbert:  è un filtro HH(f)=-jsgn(f), proprietà (sono 4), è responsabile della soppressione della parte di spettro di X(f) a frequenze negative (serve per calcolare x+(t) in funzione di x(t)).

componenti analogiche di bassa frequenza xc(t)+jxs(t)=: legame diretto e inverso con x(t) e  (in particolare x(t)=xc(t)cos2pfxt-xs(t)sen2pfxt=doppia modulazione), sono le antitrasf. delle parti pari e dispari di .

Interpretazione grafica di e zx(t).

Considerazioni energetiche: (     , , , <Xc Xs>=0,   ).

Demodulazione in ampiezza (demodulatore normale e coerente).

Modulazione SSBs

CAMPIONAMENTO DEI SEGNALI: xc(t)= x(tk)d(t-tk) (Lo spettro del segnale campionato è Xc(f)= =Fc X(f kFc)=infinite repliche a distanza Fc dello spettro X(f), condizione di Nyquist, teorema del campionamento x(t)= x(kTc)senc(pFct kp) detto anche interpolazione del 1o ordine, campionamento con tenuta, campionamento di segnali passa-banda).


TEORIA DELLA PROBABILITA'

DEFINIZIONI: Esperimento, evento, spazio campione, probabilità di un'evento(approccio frequentistico, classico, assiomatico), 3 assiomi: P(A) 0, P(S)=1, A B P(A B)=P(A)+P(B)

PROBABILITA' CONDIZIONATA: def. , A e B statisticamente indipendenti se P(B|A)=P(B) P(A,B)=P(A)P(B), teorema della probabilità totale P(M)= P(M|Ai)P(Ai), teorema di bayes.

VARIABILI ALEATORIE:

Distribuzione di probabilità Fx(x) per def. è P(x x), def. della densità di probabilità come la derivata di Fx(x

v.aleatorie discrete:

v.binomiale (numero di successi su n prove) fx(x)=                     mx=np

v.di poisson (n°di successi su n prove con p 0 e np l) fx(x)= mx=l

2 v.gaussiana fx(x)=


 
v.aleatorie continue

v.uniforme fx(x)=

v.di cauchy fx(x)=


  3 v.di rayleigh fx(x)=



5 v.di rice fx(x)=      (con I0==funzione di Bessel)

6 v.esponenziale monolatera: fx(x)=le-lxu-1(x) (m=1/l s l ), bilatera: fx(x)= (m=0 s l

7 v.gamma fx(x)=con =(b-1)! (per b=1 si ottiene l'espon.monolatera) invece per b=n=intero si ottiene la v.di erlang mentre per b=n/2 e a=1/2 si ottiene la v.chi-quadro.

composizione di var. aleat. (h=g(x) assume g(x1) con la prob. con cui x assume x1: es. h x ) localmente, per f.monotone si ha: fh(y)= ,per operazioni lineari h=ax+b: fh(y)=

momenti E[xn] e E[(x m)n] m1=valor medio, m2=valore quadratico medio, m m s =varianza =m2 m2, se fx(x) pari m2n+1=0 e m2n+1=0, mediana e moda, mn= e mn=, skewness (simmetria) e kurtosis (gaussianità).

funzione caratteristica C(u)==E[ejux] (è un'antitr.di Fourier, fx(x)=), caso discreto C(u)= Pkejuk, Cx(0)=1 (cond.di normalizzazione), f.caratteristiche di variabili aleatorie particolari (cauchy e gaussiana), proprietà:  e .

VARIABILI ALEATORIE BIDIMENSIONALI

Def distribuzione congiunta Fxh(x,y), distr.marginale Fxh(x,+ ), densità congiunta, densità marginale.

Per eventi indipendenti (vedi probabilità condizionata) Fxh(x,y)=Fx(x)Fh(y) e, derivando, vale anche fxh(x,y)=fx(x)fh(y).

Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane (le densità marginali sono gaussiane).

Momento congiunto mij=E[xihj], m. centrale congiunto mij=E[(x mx)i(h my)j], m11=E[xh]=correlazione, m =Cov(x h)=covarianza, r==coefficiente di correlazione r r h ax+b con a>0, r incorrelate, E[x h ortogonali, x h indipendenti incorrelate (" " vale per le congiuntamente gaussiane), cov(x h)=corr(x h mxmy.


TRASFORMAZIONI DI VAR. ALEAT. BIDIMENSIONALI

Composizioni di due variabili in una: w x h (+caso gaussiano), w xh w x h w=, w=max(x h w=min(x h

Doppia trasformazione , teorema fwz(w,z)=

linearità del momento e[ ]: se h=g(x E[h g(x)fx(x)dx, e se w=g(x h E[w g(x,y)fxh(x,y)dxdy, da ciò si dimostra che E[ax+bh]=aE[x]+bE[h

VARIABILI ALEATORIE CONDIZIONATE: def.analoga alla probabilità condizionata Fx|B(x|B)=P(x x,B)/P(B),

B="h y" Fx(x|h y) e fx(x|h y) che è la derivata

B="h=y"="y h y+dy" Fx(x|y) e fx(x|y)

Proprietà analoghe alla probabilità condizionata.

VARIABILI ALEATORIE N-DIMENSIONALI: matrici R, C e M, proprietà R - MTM = C

TEOREMA LIMITE CENTRALE


PROCESSI ALEATORI



DEFINIZIONI(Tempo/stato-continui e discreti, statistiche=distribuzioni e densità del n ordine)

PROPRIETA'

Del 1°ordine: valor medio mx(t)= xf(x,t)dx=E[X(t)], Potenza Px(t)=E[X2(t)], varianza m (t)=sx (t)=Px(t) mx2(t).

Del 2°ordine:autocorrelazione Rxx(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)], (potenza Px(t)=E[X2(t)]=Rxx(t,t)), autocovarianza Cxx(t1,t2)=Rxx(t1,t2) m(t1)m(t2), (varianza sx (t)=Px(t) mx2(t)= Cxx(t,t)).

In generale per le statistiche di ordine n: Momento mhk(t1,t2)=E[X1hX2k], Momento centrale mhk(t1,t2)= =E[(X1 m1)h(X2 m2)k]

Per le mutue statistiche del 2°ordine: Mutua Correlazione Rxy(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)],Mutua Covarianza Cxy(t1,t2)=. , Coefficiente di Correlazione rxy(t1,t2)=Cxy(t1,t2)/sx(t1)sy(t2), (stesse proprietà del rxy delle var. aleatorie).

ESTENSIONE AI PROCESSI COMPLESSI: Rxx(t1,t2)=E[X1X2*]=Rxx*(t2,t1),Px(t)=E[|X(t)|2],Cxx(t1,t2)=Rxx(t1,t2) m(t1)m*(t2) (analogamente Rxy e Cxy)

PROCESSI STAZIONARI

SSS se f.di densità dipende dalle n-1 tn-tn-1, . ,t2-t1, proprietà: stazionarietà di grado n stazionarietà di grado 1.n-1, SSS di grado 1 mx,s x,Px,mx=cost. , SSS di grado 2 Rxx(t), Cxx(t)=Rxx(t mx2

SSL se mx(t)=cost. e Rxx(t1,t2)=Rxx(t

Rxx(0)=Px=Rxx(t,t)=Px(t), Cxx(0)=sx =Cxx(t,t) un processo SSL ha una potenza fissa

Estensione ai proc. complessi Rxx(t)=E[X(t)X (t-t)], Cxx(t)=Rxx(t |mx|2 (analogia coi segnali certi).

Proc. congiuntamente SSL se Rxy(t), processi mutuamente ortogonali se Rxy(0)=0, incorrelati se Rxy(t

Altre proprietà:    (non vale sempre), Ryx(t)=Rxy*(-t), Cyx(t)=Cxy*(-t), Z(t)=X(t)+Y(t) è SSL se lo sono X(t) e Y(t), Pz=Px+Py+Pxy+Pyx

ESEMPI DI PROCESSI ALEATORI

proc. normale(gaussiano): X(t) congiuntamente gaussiane per ogni t1.tn, completamente determinato da mx(t) e Cxx(t1,t2), unico caso in cui SSL SSS (dimostrazione).

proc. bianco: Cxx(t)=Rxx(t)=kd t), mx=0, X(ti) e X(tj) sono incorrelate per ogni ti tj perché C(ti,tj)=0, Px=R(t,t)=R(0)=+ sx , passaggio in un sistema lineare Cyy(t)=kjhh t

proc. armonico: X(t)=Acos(2pf0t+q) con q uniforme in [0,2p] con A e q indipendenti; è SSL.

proc. di poisson: (pag 290)

segnale telegrafico: X(t)=1 se in (0,t) cadono 2n punti e -1 se cadono 2n+1 punti distribuiti secondo Poisson di parametro l=intensità dei punti.

onda pam non stazionaria

TRANSITO DEI PROCESSI ALEATORI NEI SISTEMI T[x(t,xi)]=y(t,xi

Sistemi (lineari e non) istantanei: Y(t)=g[X(t)] (per le v.al. era h=g(x)), per l'istantaneità del sistema, si può calcolare fY(y,t) in funz.di fX(x,t) analogamente alle v.al. (vedi composizione), my(t)=E[Y(t)]=E= = g(x)fX(x,t)dx, Ryy(t1,t2)=E[Y(t1)Y(t2)]=E[g[X(t1)]g[X(t2)]]= g(x1)g(x2)fX1X2(x1,x2,t1,t2)dx1dx2, X(t) SSS di ordine n Y(t) è SSS dello stesso ordine, mentre X(t) SSL Y(t) SSL, esempio del quadratore.

Sistemi lineari e permanenti: Y(t)=X(t) h(t) (operano solo sulla t quindi le v.al.sono come dei coefficienti) X(t) gaussiano Y(t) gaussiano, my(t)=mx(t) h(t)=g[mx(t)] se SSL my=mxH(0), Rxy(t1,t2)=Rxx(t1,t2) h(t2) (=g[Rxx] considerando come variabile t2), Ryy(t1,t2)=Rxx(t1,t2) h(t1) h(t2), se X(t) è SSL, nel caso complesso, si ha Rxy(t)=Rxx(t h t) e Ryy(t)=Rxx(t h(t h t Y(t) è SSL e X(t) e Y(t) sono congiuntamente SSL, (si ragiona analogam. per Cyy).

SPETTRO DI UN PROCESSO SSL :

Scxx(f)=F[Cxx(t)] (spettro di densità di covarianza)

Sxx(f)=F[Rxx(t F[Cxx(t)+mx2]=Scxx(f)+mx2d(f) (=PX(f) spettro di densità di potenza), (1) Sxx(f) 0, (2) Sxx(f) è reale perché Rxx(t)=R xx t P(f)df=Rxx(0)=Px=E[X2(t)].

Sxy(f)=Sx(f)H (f), Sy(f)=Sx(f)|H(f)|2 Py=Ryy(0)= Sx(f)|H(f)|2df.

PROCESSI CICLOSTAZIONARI: def CSSS: fX1..Xn(x1.xn,t1.tn)=fX1..Xn(x1.xn,t1+kT,.,tn+kT), def CSSL: mx(t)=mx(t+kT) e Rxx(t1,t2)=Rxx(t1+kT,t2+kT), teorema 1 (Y(t)=X(t-q)): CSSS SSS e CSSL SSL (applicazione al proc. armonico e all'onda p.a.m.)

PROCESSI ERGODICI IN MEDIA: medie delle f. membro m(k)=m(i)=mx(t)=mx

I cond.nec.e suff.

II cond.suff. |Cxx(t)|dt<+

III cond.suff.

teorema di slutsky

PROCESSI ERGODICI IN CORRELAZIONE: le ri(t) sono tutte uguali a Rxx(t

PROCESSI ERGODICI IN DISTRIBUZIONE:






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