NUMERI IMMAGINARI - NUMERI COMPLESSI - SOMMA DI DUE NUMERI COMPLESSI

Una volta introdotta l'unità immaginaria si definiscono i multipli dell'unità immaginaria come prodotto di un numero n per i, cioè 1i, 2i, 3i,..., 37i,..., ni,...

Analogamente i sottomultipli dell'unità immaginaria risultano: i, i/2, i/3,..., i/n,...

Risulta possibile assegnare in modo univoco un valore numerico immaginario alle radici di ordine pari di numeri negativi; infatti la radice quadrata di -25 vale:

Ö-25 = Ö(-1)(25) = Ö-1 . Ö25 = iÖ25 = 5i

Due numeri immaginari si sommano o si sottraggono con le usuali regole aritmetiche usate per i numeri reali;

per esempio i + i = 2i; 5i - 9i = - 4i

Per moltiplicare due numeri immaginari dobbiamo tenere conto del fatto che i . i = -1, che deriva dalla definizione di unità immaginaria; quindi se devo moltiplicare, per esempio, 2i . 3i ottengo:

2i . 3i = -6

infatti 2 . 3 = 6 e i . i = -1 ; -1 . 6 = -6. 929i84j

Questo esempio ci porta a formulare questo importante principio: il prodotto di due numeri immaginari è un numero reale. Per dividere due numeri immaginari, come per esempio 10i per 2i, scriviamo l'operazione sotto forma di frazione, cioè:

10i

10i : 2i = _____

2i

e semplificando otteniamo che 10/2 = 5 , i/i = 1

quindi 10i : 2i = 5.

Anche in questo caso abbiamo che il rapporto fra due numeri immaginari è un numero reale.

Dal fatto che il risultato di i : i sia 1 otteniamo:

i 1

1 = ___ = i * ___ = i * (-i) = -( i * i ) = -(-1) = 1

i i

ovvero: il reciproco dell'unità immaginaria i è uguale all'opposto dell'unità immaginaria; in formule:

1

___ = -i

i

NUMERI COMPLESSI

Abbiamo visto che da numeri reali possiamo ottenere numeri immaginari prendendo le radici di ordine pari di numeri negativi, e da numeri immaginari possiamo ottenere numeri reali con le operazioni di prodotto e divisione; ma ciò non è sufficiente. Cerchiamo, per esempio di calcolare il valore di Öi, di trovare cioè quel numero che moltiplicato per sé stesso dia i; esso non sarà un numero reale in quanto un numero reale moltiplicato per un numero reale dà un numero reale; non sarà neppure un numero immaginario poiché un numero immaginario moltiplicato per un numero immaginario dà un numero reale. Allora il valore di Öi non esiste?

Il valore di Öi esiste ma dobbiamo cercarlo non nei numeri reali né nei numeri immaginari bensì nell'unione dei due tipi di numeri che prendono il nome di numeri complessi.

Un numero complesso z si indica nel seguente modo:

z = a + ib

dove il simbolo + non ha un vero significato di somma ma serve per separare la parte reale, a, dalla parte immaginaria, b, del numero z. In molti testi la notazione per indicare il numero complesso z è la seguente:

z = (a,b)

dove al primo posto della coppia di numeri c'è la parte reale a, mentre al secondo posto della coppia c'è la parte immaginaria b. Noi utilizzeremo il primo modo di indicare un numero complesso. E' bene far notare che nella notazione z = a + ib l'unità immaginaria i serve per identificare la parte immaginaria del numero complesso, serve cioè da identificatore. Un numero complesso è quindi formato da una parte reale e una parte immaginaria e se la parte immaginaria è nulla allora il numero complesso è reale, se invece è nulla la parte reale il numero complesso è immaginario puro. Si vede quindi che i numeri reali e i numeri immaginari sono casi particolari dei numeri complessi. Nell'insieme dei numeri complessi definiscono le seguenti operazioni: dati due numeri complessi z = a + ib e w = c + id

SOMMA DI DUE NUMERI COMPLESSI

z + w = (a + ib) + (c + id) = (a+c) + i(b+d)

cioè la somma di due numeri complessi si ottiene sommando la parte reale del primo numero complesso con la parte reale del secondo numero e sommando la parte immaginaria del primo numero con la parte immaginaria del secondo numero complesso.

DIFFERENZA DI DUE NUMERI COMPLESSI

z - w = (a + ib) - (c + id) = (a-c) + i(b-d)

cioè la differenza fra due numeri complessi si ottiene sottraendo la parte reale del secondo numero complesso dalla parte reale del primo e sottraendo la parte immaginaria del secondo numero dalla parte immaginaria del primo.

PRODOTTO DI DUE NUMERI COMPLESSI

z . w = (a + ib) . (c + id) = (ac -bd) + i(ad + bc)

cioè il prodotto fra due numeri complessi si ottiene: per la parte reale, il prodotto delle parti reali dei due numeri complessi meno il prodotto delle parti immaginarie dei due numeri complessi;

la parte immaginaria si ottiene moltiplicando la parte reale del primo numero complesso per la parte immaginaria del secondo numero complesso più il prodotto della parte immaginaria del primo numero complesso per la parte reale del secondo numero complesso.

Esiste un'utile rappresentazione grafica dei numeri complessi nota come "rappresentazione di Gauss". Se rappresentiamo la parte reale dei numeri complessi lungo una retta orizzontale e la parte immaginaria lungo una retta verticale perpendicolare alla retta orizzontale, un numero complesso z sarà rappresentato da un punto del piano formato dalle due rette, mentre ad ogni punto del piano corrisponderà un numero complesso .

Si definisce il complesso coniugato di un numero complesso z = a + ib il numero, sempre complesso, ottenuto cambiando di segno alla parte immaginaria di z e si indica con:

-

z = a - ib

Il prodotto di un numero complesso z = a + ib per il suo complesso coniugato è sempre un numero reale e vale:

z x z = aý + b

e prende il nome di "modulo" del numero complesso z = a + ib e si indica con ¦ z ¦.

Il reciproco di un numero complesso z = a + ib è dato da:

1 a b a b

___ = _________ - i_________ = _____ - i_____

z aý + bý aý + bý ³ z ³ ³ z ³

Noto il reciproco di un numero complesso possiamo definire la divisione fra due numeri complessi z = a + ib e w = c + id :

w 1 a b

___ = w * ___ = (c + id) * ( _____ - i _____ ) =

z z ³ z ³ ³ z ³

ca    db ad cb

= ( _______ - _______ ) + i( _______ - _______ )

³ z ³ ³ z ³ ³ z ³ ³ z ³

L'elevamento a potenza reale di un numero complesso viene definito nel modo usuale, cioè:

zn = (a + ib)3 = (a + ib) . (a + ib) . ......... (a + ib) n volte.

Facendo i prodotti a due a due con le regole del prodotto già viste è possibile calcolare qualsiasi potenza di z. Con l'introduzione dei numeri complessi nella matematica è risultato possibile risolvere equazioni non risolubili nell'insieme dei numeri reali e rendere più semplice la trattazione di problemi legati alla trasmissione delle onde in fisica oppure alle correnti elettriche dipendenti dal tempo in elettronica.

E la nostra Öi che fine ha fatto? Quanto vale allora? A titolo di esempio mostriamo le procedure per il calcolo lasciando come esercizio il calcolo di Ö-i. Il valore di Öi sarà un numero complesso z tale che, per la definizione di radice quadrata si ha:

z2 = i

Sia z = a + ib allora

z2 = (a + ib)2 = (a + ib) . (a + ib) = a2 - b2 + i2ab = i

Poiché z2 = i ha parte reale nulla e parte immaginaria uguale a 1 si ottiene:

a2 + b2 = 0 (parte reale di z2 )

2ab = 1 (parte immaginaria di z2 )

Dalla prima equazione si ottiene:

a2 = b2 e quindi

a = b

sostituendo questo valore nell'equazione 2ab = 1 otteniamo:

2a2 = 1 e quindi

a = ±Ö1/2 e b = ±Ö1/2

Poiché il prodotto 2ab = 1 è chiaramente positivo, a e b devono avere i segni concordi, cioè entrambi positivi o entrambi negativi. Il numero complesso z cercato è:

z = Ö1/2 + iÖ1/2 e anche z = -Ö1/2 - iÖ1/2

In conclusione abbiamo che:

Öi = ±(Ö1/2 + iÖ1/2).