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LA STATISTICA - INDAGINE STATISTICA

matematica


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LA STATISTICA


La statistica si occupa di studiare un fenomeno con lo scopo di metterne in evidenza gli aspetti essenziali, risalendo eventualmente alle leggi che lo regolano; essa rappresenta quindi, nella maggior parte dei casi, il mezzo più efficace per ridurre il margine di incertezza delle nostre scelte.

Il metodo statistico era usato anche nell'antichità ed ebbe 616i88g il suo maggior sviluppo nella seconda metà del 1800; al giorno d'oggi è diventato uno strumento indispensabile di lavoro in tutti i campi e proprio per questo è regolato da precise norme.

La statistica indaga su fenomeni collettivi, cioè su fenomeni che riguardano un insieme di individui, raccogliendo informazioni relative ad essi traducendole poi in un modello numerico che possa essere analizzato semplicemente.


INDAGINE STATISTICA


Fase 1

Il primo problema che ci poniamo è in relazione a quale aspetto, chiamato carattere, del fenomeno dobbiamo indagare.

Il secondo problema da affrontare è quello di identificare con precisione la popolazione, cioè le persone alle quali fare domande su questo carattere.



Ogni elemento della popolazione è definito unità statistica.

I possibili modi con cui si può presentare un carattere è detto modalità.

Quindi un'indagine statistica si può riassumere nelle seguenti 3 fasi:

Individuare uno o più caratteri sui quali acquisire informazioni

Individuare le unità statistiche portatrici del carattere

Individuare le modalità in cui il carattere si può presentare

Si può fare subito una prima distinzione fra due tipi di caratteri: quelli qualitativi, le cui modalità sono generalmente espresse da aggettivi o nomi, e quelli quantitativi, le cui modalità sono espresse tramite numeri.

I caratteri qualitativi si possono classificare in:

Sconnessi: relazioni di diversità (es. colore dei capelli)

Ordinati: relazioni d'ordine (es. grado d'istruzione)

I caratteri quantitativi, invece, si possono classificare in:

Discreti: insieme finito o infinito numerabile (es. numero componenti di una famiglia)

Contigui: carattere espresso con un numero reale (es. altezze di un certo gruppo di individui)


Fase 2

Fatta questa distinzione, rimane il problema di raccogliere i dati necessari all'indagine.

Alcuni tipi di indagine statistica richiedono il contributo di tutta la popolazione.

Per altri tipo di indagine, l'analisi di tutta la popolazione risulta troppo dispendiosa in tempo, denaro e numero di persone addette; risulta però necessario ricorrere ad un suo sottoinsieme, denominato campione, i cui elementi siano in qualche modo rappresentativi dell'intera popolazione.

Una volta scelto il campione, resta da stabilire come raccogliere le informazioni(tramite interviste e/o sondaggi).

Una volta eseguita la raccolta dei dati, occorre procedere al loro spoglio per poterli organizzare in modo che essi ci diano informazioni sintetiche sul fenomeno che stiamo analizzando, cioè occorre contare quante unità statistiche del campione presentano una certa modalità del carattere osservato; il numero che ne risulta prende il nome di frequenza assoluta di quella modalità.

L'insieme delle coppie ordinate(modalità, frequenza assoluta) si dice distribuzione di frequenze, cioè una funzione che può essere rappresentata elencandone tutte le coppie organizzate in una tabella.

Accanto alla colonna delle frequenze assolute si è soliti riportare anche le frequenze relative, intese come rapporto fra la frequenza assoluta ed il numero totale delle osservazioni.

in base al tipo di carattere rappresentato, le distribuzioni di frequenza prendono il nome di:

mutabile statistica se il carattere è di tipo qualitativo;

variabile statistica se il carattere è di tipo quantitativo.

Il modo più semplice per elaborare un insieme da dati statistici, è quello di rappresentarli graficamente(ad es. diagrammi a rettangoli distanziati, diagrammi circolari, ideogrammi, cartogrammi, diagrammi cartesiani e istogrammi).


GLI INDICI DI POSIZIONE


Le Medie Ferme

Avere raccolto dei dati, averli organizzati, averne dato una rappresentazione grafica, non è spesso sufficiente quando si devono fare dei confronti fra diverse situazioni.

Ci sono diversi modi per calcolare e definire un valore medio, o semplicemente media.

In teoria:

Definizione di Lagrange

Si dice media di un insieme di n grandezze, fra loro omogenee, disposte in ordine crescente, un qualunque valore che sia compreso fra il valore più piccolo e quello più grande delle grandezze considerate.

Definizione di Chisini

Si dice media di un insieme di n grandezze omogenee(x1, x2, ... , xn), in vista della valutazione di una certa funzione( f ), la quantità x che, sostituita alle grandezze xi soddisfa la relazione: f(x1, x2, ... , xn) = f(x, x, ... , x).


In pratica, si usano frequentemente alcuni particolari tipo di medie:

Media Aritmetica

Si dice media aritmetica fra n numeri (x1, x2, ... , xn) il rapporto M fra la loro somma ed n; in simboli: M = (x1 + x2 + ... + xn)/n

La media aritmetica rappresenta quel valore che, sostituito a ciascuna delle osservazioni, non altera la loro somma.

Una delle proprietà della media aritmetica è che lo scarto della media, cioè la differenza fra il valore osservato e la media stessa, quindi la somma degli scarti dalla media, è sempre nulla e la somma dei quadrati degli scarti dalle media aritmetica è minima.




Media Geometrica

Si dice media geometrica semplice fra n numeri positivi(x1, x2, ... , xn) e si indica con MG la radice n-esima del loro prodotto; in simboli: MG = (x1 * x2 * ... * xn)

La media geometrica è dunque quel valore che, sostituito ad ogni dato, non altera il loro prodotto.

Media Quadratica

Si dice media quadratica semplice fra n  numeri(x1, x2, ... , xn) e si indica con MQ la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei dati; in simboli:

MQ = (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)/n

Media Armonica

Si dice media armonica semplice fra n  numeri(x1, x2, ... , xn) e si indica con MA, il reciproco della media aritmetica dei reciproci dei dati; in simboli:

MA = 1/((1/x1 + 1/x2 + ... + 1/xn)/n) = n/(1/x1 + 1/x2 + ... + 1/xn)


ALTRI INDICI DI POSIZIONE


Le Medie Lasche


Moda

Si dice moda, o valore modale, di una distribuzione di frequenza il termine, se esiste, cui corrisponde la massima frequenza nella distribuzione.

Mediana

Si definisce mediana di una distribuzione di frequenza il termine che, disposti i dati in ordine crescente(oppure decrescente), occupa il posto centrale.

La mediana ha un'importante proprietà, cioè la somma dei valori assoluti degli scarti dalla mediana è minima.


LA VARIABILITA'


Le medie, la moda e la mediana, sono utili come valori di sintesi di una distribuzione o per confrontare distribuzioni diverse, non ci danno informazioni sulla variabilità dei dati, dove con questo termine intendiamo la tendenza che hanno i dati ad essere diversi uno dall'altro.

Tale variabilità è data dalla differenza tra il valore più piccolo e quello più grande: ciò viene definito campo di variabilità ed è un numero positivo espresso nella stessa unità di misura dei dati.

Nello studio della variabilità può essere presente un valore fissato detto polo che di solito coincide o con la media aritmetica o con la mediana.

Nel caso in cui il polo è uguale alla mediana, è opportuno calcolare lo scostamento medio; se, invece , coincide con la media aritmetica, sarà opportuno calcolare lo scarto quadratico medio.


Scostamento medio

Si definisce scostamento medio la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti dalla mediana.

In caso di dati semplici: S = (∑ l xi - Me l)/n

Nel caso di dati ponderati con pesi fi : S = ∑ /∑ fi


Scarto quadratico medio

Si definisce scarto quadratico medio la media quadratica degli scarti dalla media aritmetica.

Nel caso di dati semplici: σ = √(∑ (xi - Me)^2/n)

Nel caso di dati ponderati con pesi fi : σ = (∑ )/∑ fi


Il quadrato di σ prende il nome di varianza della distribuzione e si indica con che si può calcolare anche con la seguente formula: σ = ((∑ xi^2)/n)-M^2   cioè la varianza è la differenza fra la media dei quadrati delle osservazioni ed il quadrato della media semplice.


LA CONCENTRAZIONE


Studiare la concentrazione significa stabilire quale percentuale di un certo bene si concentra su una certa percentuale di popolazione.

Data la distribuzione di un certo bene, si parla di:

equidistribuzione se esso si ripartisce in parti uguali fra gli elementi della collettività; il grafico corrispondente è la retta bisettrice del primo quadrante

massima concentrazione se esso si concentra su un solo individuo della collettività e tutti gli altri o non ne possiedono o ne possiedono quantità talmente basse da poterle considerare nulle; il grafico di massima concentrazione è la spezzata OAB, dove O è l'origine degli assi, A è il punto (100, 0), B è il punto (100,100)

concentrazione variabile se esso si ripartisce in modo non uniforme fra gli elementi della collettività; il grafico è una spezzata che esce dall'origine e termina nel punto (100, 100)


La retta di equidistribuzione e la curva di concentrazione(variabile o massima) passano entrambe per l'origine degli assi e per il punto (100, 100).

La parte di piano da essa racchiusa prende il nome di area di concentrazione.


La retta di equidistribuzione e la curva di concentrazione(variabile o massima) è un triangolo rettangolo che rappresenta quindi l'area di concentrazione massima.

Il rapporto fra l'area di concentrazione e l'area di concentrazione massima viene definito rapporto di concentrazione.

c = (area di concentrazione)/(area di concentrazione massima)






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