Le spirali

Fibonacci studiò una particolare serie di numeri, in cui ogni termine è dato dalla somma dei due precedenti: 1,1,2,3,5,8,...., che compaiono come elementi di base per la costruzione della spirale di Fibonacci.: si costruiscano due quadrati di lato 1 posti uno sull'altro, gli si affianchi un quadrato di lato 2, sopra si costruisca un quadrato di lato 3, ecc.. La spirale logaritmica è intimamente legata ai numeri di Fibonacci e prosegue indefinitamente sia verso l'interno che verso l'esterno. Mano a mano che si avvicina al polo, la curva ci si avvolge intorno senza mai raggiungerlo. Se volessimo osservare il centro della spirale logaritmica con un microscopio o con una lente di ingrandimento questo ci apparirebbe esattamente come la spirale che si vedrebbe continuando la curva nel verso opposto, cioè crescere fino a diventare delle dimensioni di una galassia. La spirale logaritmica fu scoperta da Renato Cartesio nel 1638, cinquanta anni dopo un altro matematico, Bernoulli scopri molte altre sue proprietà e ne rimase talmente   affascinato che richiese di averne una scolpita sulla sua pietra tombale, accompagnata dalla scritta latina "Eadem mutata resurgo" (Sebbene cambiata, rinasco identica). Purtroppo la spirale che ancora oggi è visibile sulla lapide del matematico a Basilea è una spirale di Archimede, forse l'unica che lo scalpellino riuscì a riprodurre; la scritta invece non compare. La spirale di Archimede e la spirale logaritmica si ottengono come proiezioni ortogonali di eliche avvolte su di un cono rotondo in modo che se ne conservino rispettivamente il passo e l'inclinazione.

Arte

Le forme spiralizzate appaiono già nella pittura e nelle incisioni rupestri preistoriche. Un esempio è la piana di Nazca, una mappa stellare che utilizza le spirali al fine di segnalare costellazioni raggruppate in modo immaginario. Altro esempio è una Sfinge Etrusca, il cui profilo a spirale presente nell'ala ha il magico potere di trasformare il mostro immaginario in una figura quasi mistica e di straordinaria bellezza. Un caso emblematico di interazione tra geometria ed arte è il passaggio per sovrapposizione, dalla spirale di Cornu al capitello ionico. La pittura non poteva rimanere insensibile al fascino delle spirali: Vincent Van Gogh in un suo quadro inserisce delle stelle generatrici di luce che assumono la forma di spirali. Klimt invece utilizzò il binomio donna/spirale in un contesto di forme preziose e spesso deliranti. L'Art Nouveau, di cui Parigi fu la capitale, utilizzò i motivi spiratici e ad elica per adornare i balconi, verande, cancellate e suppellettili. Questi motivi furono usati per rompere le simmetrie consuete e sviluppare la fantasia. Escher, per esempio, trasse dalla geometria spiralitica delle suggestive figurazioni di livello superiore e riuscì quasi ad evidenziare l'infinito quando tramutò le sue conoscenze matematiche in arte. In "Legame senza fine" egli crea strutture tridimensionali da forme essenzialmente piatte e fornisce una rappresentazione pittorica del suo legame con la moglie. Una banda larga, senza ne inizio en fine, si innalza a formare delle spirale che costituiscono due teste sospese in uno spazio indefinito. I lineamenti sono fortemente stilizzati, in maniera che i due volti finiscono per assomigliarsi. Le forme cave sono circondate da sfere che contribuiscono a creare un senso di profondità spaziale.

Architettura

Anche l'architettura ha subito il fascino delle spirali, ma soprattutto delle eliche. Nella pavimentazione della piazza del Campidoglio, progettata da Michelangelo, possiamo ritrovare dei motivi a spirale che sono analoghi a quelli presenti nella disposizione dei semi della corolla di un girasole. Le colonne di un monastero ortodosso a Zagorsk (Russia) sono adornate con foglie di vite e grappoli di uva secondo una simmetria elicoidali. In ambito architettonico la migliore analogia con le forme elicoidale la percepiamo nelle scale a chiocciola.

Computer Graphics

Anche nell'ambito della Computer Graphics vi sono numerosi esempi di immagini digitalizzate o di elaborazioni grafiche che rappresentano casi interessanti di spirali. Strettamente connesso è l'uso di algoritmi per realizzare opere digitali dove la tela è sostituita dal monitor e il pennello dal mouse.

Natura

In natura si trovano realizzate molte forme a spirale ed a elica, ne sono un esempio le galassie, le nebulose e l'occhio di un ciclone. Anche le conchiglie e le spiritrombe delle farfalle sono un esempio di spirali ed elicoidi. Altre crescite tipicamente elicoidali sono presenti nella formazione di comunissime piante e liane. Tipico esempio è la disposizione dei frutti, dei semi, delle margherite e dei girasoli. La disposizione delle foglie su un ramo rispetta  una legge di tipo elicoidale non a caso ma per un motivo ben preciso: non farsi ombra reciprocamente in modo che possa avvenire correttamente la fotosintesi clorofilliana. Questa disposizione matematica delle foglie sui rami prende il nome di filolassi e fu messa in evidenza da Leonardo Da Vinci. La divergenza delle foglie o quoziente di filolassi prevede al numeratore il numero di giri che deve compiere l'ideale spirale, al denominatore il numero complessivo delle foglie comprese nel numero di giri della spirale.

Conclusioni

Sia nella natura sia nell'arte esistono molti riferimenti alle spirali e alle elicoidi. Si è portati a pensare che queste forme, incontrate anche sui graffiti risalenti a miglia di anni fa, sia ancestrali nell'essere umano ( si pensi che il dna stessa ha  una struttura elicoidale). Queste forme, a livello psicologico, inducono all'armonia e alla concentrazione. Le spirali e le elicoidi rappresentano quindi due aspetti in cui la matematica , l'arte e la natura si fondono.