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GEOMETRIA ANALITICA PIANA - IL RIFERIMENTO CARTESIANO

matematica


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GEOMETRIA ANALITICA PIANA


IL RIFERIMENTO CARTESIANO


Un sistema di riferimento cartesiano del piano è costituito da una coppia di rette orientate, dette asse x o asse delle ascisse e asse y o asse delle ordinate, perpendicolari tra loro.


Origine: è il punto 0 in cui i 2 assi si intersecano. Essa ha coordinate (0;0)

Ad ogni punto P del piano si assegnano una coppia di n°, dette coordinate.


Per quanto riguarda le coordinate dello spazio a 3 dimensioni si ha: l'asse x (asse delle ascisse), l'asse y (asse delle ordinate) e l'asse z (asse delle quote).

All'origine 0 si avrà la coordinata (0;0;0).




L'equazione di una retta è: y = mx + q dove m è il coefficiente angolare e q è il termine noto.


PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO


Secondo il teorema di Talete, per trovare il punto medio "M" del segmento AB si usa la formula:


x1 + x2 y1 + y2

xM yM =

2 2



DISTANZA TRA 2 PUNTI


Secondo il teorema di Pitagora, per trovare la distanza "d" tra 2 punti si usa la formula:



d (A, B) = \ (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2



ASSE DI UN SEGMENTO


L'asse del segmento AB, con A (a1, a2) e B (b1, b2), è il luogo dei punti P (x, y) del piano equidistanti da A e da B:



\ (x - a1)2 + (y - a2)2 = \ (x - b1)2 + (y - b2)2





CIRCONFERENZA NEL PIANO


La formula della distanza tra 2 punti del piano ci permette di ricavare l'equazione della circonferenza. La circonferenza è il luogo dei punti P(x, y) detto centro della circonferenza:


x2 + y2 + ax + bx + c = 0



RETTA NEL PIANO


L'equazione della retta passante per 1 punto:


y - y0 = m (x - x0)



L'equazione della retta passante per 2 punti:


y - y1 y2 - y1

=

x - x1 x2 - x1



Per ottenere l'equazione della retta è sufficiente conoscere il valore di m, che è la costante detta coefficiente angolare della retta e ne esprime l'inclinazione. m si trova con la formula:


y2 - y1

m =

x2 - x1



L'equazione y = mx + q si chiama equazione esplicita della retta; la costante q viene anche detta intercetta.


DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA


Dato un punto P e una retta r di equazione ax + by + c = 0, la formula della distanza di 2 punti è:

| ax0 + by0 + c|

d (P, r)

\ a2 + b2



ELLISSE


Ellisse: è il luogo geometrico per i quali è costante la somma delle distanze da 2 punti fissi chiamati fuochi.

I punti d'intersezione fra l'ellisse e gli assi si chiamano vertici, rispettivamente quelli sull'asse x A1 e A2; quelli sull'asse y B1 e B2.

Le distanze di tali vertici dall'origine si chiamano semiassi.

Se l'ellisse si trova posizionato coi i fuochi sull'asse x la distanza A1O = A2O = a è detta semiasse maggiore, mentre B1O = B2O = b è detta semiasse minore.


Equazione dell'ellisse:


x2 y2

= 1

a2 b2



Coordinate dei 2 fuochi:


Si indicano con C;0 = C;0 = c dove:

c = \ a2 - b2



Eccentricità dell'ellisse:


L'eccentricità dell'ellisse e descrive la rotondità dell'ellisse stessa; è (compreso tra) 0 ≤ e e si calcola attraverso il rapporto:


c

e =

a


Se a > b → i fuochi si trovano sull'asse x; vale la relazione: b2 = a2 - c2

Se a < b → i fuochi si trovano sull'asse y; vale la relazione: b2 = a2 + c2




Le coordinate dei vertici sono:                          Le coordinate dei fuochi sono:


A1 (- b ; 0) A2 (b ; 0) F1 (0 ; - c)

B1 ( - a) B2 (0 ; a) F2 (0 ; c)



Il semiasse maggiore a si trova sull'asse y

Il semiasse minore b si trova sull'asse x


IPERBOLE


Iperbole: è il luogo geometrico per i quali è costante la differenza delle distanze da 2 punti fissi chiamati fuochi.


Equazione dell'iperbole:


x2 y2

= 1

a2 b2



L'iperbole interseca l'asse x nei punti di coordinate (a, 0) e (-a, 0), detti vertici dell'iperbole, mentre non ha intersezioni con l'asse y


b

Asintoti dell'iperbole y =± x

a


Eccentricità dell'iperbole:


L'eccentricità dell'iperbole e e > 1 e si calcola attraverso il rapporto:


c

e =

a


Equazione dell'iperbole se i fuochi si trovano sull'asse y:


y2 x2

= 1

b2 a2


Asintoti dell'iperbole equilatera: y =± x    (cioè con le bisettrici).


Se notiamo l'iperbole equilatera di 45° l'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti di equazione:

k

y =

x




h < 0 h > 0






k - k







PARABOLA


La parabola è una funzione quadratica, detta così perché la x ha esponente 2. La funzione è:


y = ax2 + bx + c


Se ax2 è positivo la concavità è rivolta verso l'alto;

Se ax2 è negativo la concavità è rivolta verso il basso.


La formula della parabola è:


- b ± b2 - 4ac

x1/2

2a







a > 0 xЄR

sempre





a < 0








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