Rette unite:

T.1Tutte e solo le rette passanti per il centro di simmetria sono unite.

Rette corrispondenti per simmetrie centrali:

T.2 Rette corrispondenti in una simmetria centrale sono parallele.

Rette parallele

Angoli di due rette con una trasversale:

T.1 Se due angoli alterni interni sono isometrici, allora sono isometrici tutti gli angoli alterni ed i corrispondenti, mentre sono supplementari i coniugati.

Teorema fondamentale delle rette parallele:

T.1 Condizione necessaria e sufficiente affinchè due rette siano parallele è che formino, con una trasversale t, una coppia di angoli alterni interni isometrici.

Altri elementi del teorema fondamentale

1° corollario:

C.1 Se le rette a e b sono parallele, ogni retta perpendicolare all'una è perpendicolare anche all'altra.

2° corollario:

C.2 Rette perpendicolari a una stessa retta sono parallele.

3° corollario:

C.3 Rette perpendicolari a rette incidenti sono incidenti.

Parallelogrammi

Poligono:

D.1 Poligono convesso (o semplicemente poligono) di lati l'intersezione dei semipiani aventi per origine le rette sostegno dei lati.

Lati:

D.2 Lati del poligono i segmenti.

Diagonali:

Diagonali del poligono, qualunque segmento che unisce due punti non consecutivi dell'insieme.

Vertici:

D.5 Angoli del poligono, gli angoli avente per lati le semirette sostegno di due lati consecutivi del poligono.

Angoli esterni:

D.6 Angoli esterni del poligono, gli angoli formati dal prolungamento di un lato con la semiretta sostegno del lato successivo o precedente.

Parallelogrammo

Condizione necessarie perchè un quadrilatero sia un parallelogrammo:

T.2 I lati opposti di un parallelogrammo sono congruenti, paralleli e discordi.

T.3 Gli angoli opposti di un parallelogrammo sono isometrici.

T.4 Angoli adiacenti ad uno stesso lato di un parallelogrammo sono supplementari.

T.5 Condizione necessaria affinchè un quadrilatero sia un parallelogrammo è che abbia i lati opposti paralleli, isometrici e discordi, gli angoli opposti isometrici e quelli adiacenti ad uno stesso lato, supplementari.

Condizione sufficienti perchè un quadrilatero sia un parallelogrammo:

T.1 Un quadrilatero non degenere, coi lati opposti paralleli, è un parallelogrammo.

T.2 Un quadrilatero che abbia due lati opposti isometrici, paralleli e discordi è un parallelogrammo.

T.3 Un quadrilatero non degenere, che abbia gli angoli adiacenti ad uno stesso lato supplementari, è un parallelogrammo.

Traslazioni

Simmetria centrale e traslazioni:

T.1 Il prodotto di due simmetrie centrali è una traslazione.

Traslazione prodotto di due simmetrie centrali:

T.1 Qualunque traslazione si può ottenere come prodotto operatorio di due simmetrie centrali.

Il prodotto di simmetrie centrali non è commutativo.

Traslazioni e identità:

T.1 Una traslazione con un punto unito è l'identità.

Rette corrispondenti per traslazione sono parallele:

T.1 Le rette corrispondenti in una traslazione non identica sono parallele.

Rette unite per traslazione:

T.2 Le rette che uniscono coppie di punti corrispondenti in una traslazione sono unite e parallele alla retta MN.

T.3 Condizione necessaria e sufficiente perchè una retta a sia unita nella traslazione è che la retta a sia parallela alla retta MN.

Corrispondenza di Talete

Proprietà della corrispondenza di Talete:

T.1 La corrispondenza di Talete conserva il punto medio.

Congiungete i punti medi dei lati di un triangolo:

L.1 Se M ed N sono i punti medi dei lati (AB) e (BC) del triangolo ABC, allora la retta MN è parallela al lato (AC), e, viceversa, la parallela al lato (AC) del triangolo ABC, passante per il punto medio M del lato (AB), interseca il lato (BC) nel suo punto medio.

Trapezio:

D.1 Trapezio, un triangolo con una sola coppia di lati paralleli, detti basi .

Mediana del trapezio:

D.2 Mediana del trapezio, la congiungente i punti medi dei lati obliqui. Corollario: La mediana di un trapezio è parallela alle basi.

Proiezione parallela:

D.1 Chiameremo proiezione parallela di P sulla retta r secondo la direzione assegnata, il punto P' intersezione di r con la retta di direzione passante per P.

Proiezione di un parallelegrammo su una retta:

T.1 La proiezione parallela di un parallelogrammo sopra una retta è un parallelogrammo degenere.

1° teorema di Talete:

La corrispondenza di Talete conserva l'isometria e la somma tra le lunghezze dei segmenti corrispondenti.

Applicazioni della corrispondenza T di Talete:

Suddivisione di un segmento in parti congruenti:

T.1 Se in un triangolo i punti pn dividono il lato AC in parti isometriche, e i punti P'n dividono il lato BC in parti isometriche, allora le rette PnP'n sono parallele alla base AB.

Mediana di un triangolo:

Qualunque segmento avente per estremi un vertice ed il punto medio del lato opposto.

Proprietà delle mediane:

T.1 Le tre mediane di un triangolo sono concorrenti in un punto detto baricentro, che divide ciascuna di esse in due parti, delle quali quella avente per estremo il vertice è doppia dell'altra.

Parallelogrammi e traslazioni:

T.1 Se AA' B'B è un parallelogrammo, allora i punti A ed A', B e B' sono corrispondenti nella medesima traslazione non identica, e viceversa.

Segmenti equipollenti:

conseguenza immediata del teorema è che i segmenti orientati che uniscono coppie di punti corrispondenti in una traslazione, sono isometrici, paralleli e concordi. Chiameremo questi segmenti equipollenti.

Traslazione individuata da due punti:

Esiste ed è unica la traslazione in cui si corrispondono due punti assegnati A ed A'.

Simmetrie assiali

Definizione:

D.1 Siano, a una retta,Al ed Al' i due semipiani opposti di origine a,OX una semiretta avente la retta acome sostegno.La simmetria assiale di asse a è la congruenza che trasforma il semipianoAl nel semipiano opposto Al', lasciando unita la semiretta OX.

Rette perpendicolari:

Esistenza e unicità della perpendicolare per un punto a una retta:

T.1 Assegnati nel piano un punto P ed una retta r, esiste ed è unica la retta r' passante per P e perpendicolare alla retta r.

Altezza del triangolo:

D.1 Altezza del triangolo ogni segmento di perpendicolare condotto da un vertice alla retta del lato opposto.

Triangolo isoscele

D.1 Si dice isoscele qualunque triangolo dotato di asse di simmetria.

Condizioni necessarie perchè un triangolo sia isoscele:

T.1- i lati obliqui sono isometrici; -gli angoli alla base sono isometrici; -l'asse è perpendicolare alla base nel suo punto medio; -l'asse è anche bisettrice dell'angolo al vertice, e quindi nel triangolo isoscele bisettrice, altezza e mediana relative alla base coincidono con l'asse.

Condizioni sufficienti perchè un triangolo sia isoscele:

Se un triangolo ha: T.1 isometrici i lati (AB) ed (AC); T.3 isometrici gli angoli B e C, T.4 due fra altezza, mediana e bisettrice uscenti da A coincidenti, allora quel triangolo è isoscele.

Triangolo equilatero:

T.1 Se un triangolo è equilatero, allora ha i tre angoli congruenti.

T.2 Se un triangolo ha tre angoli congruenti, è equilatero.

T.3 Un triangolo equilatero ha tre assi di simmetria.

Triangolo rettangolo:

Chiameremo triangolo rettangolo un triangolo con un angolo retto. Il lato opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa, gli altri due cateti. I triangoli rettangoli godono della seguente proprietàT.1 In un triangolo rettangolo la mediana dell'ipotenusa è uguale a metà dell'ipotenusa stessa, e viceversa.

Trapezio isoscele:

Chiameremo trapezio un quadrilatero che abbia una sola coppia di lati opposti paralleli.

Definizione:

D.1 Un trapezio è isoscele se e solo se le due basi hanno il medesimo asse di simmetria.

Condizione necessaria affinchè un trapezio sia isoscele è che:

T.1 -abbia le diagonali isometriche che si dividono in parti isometriche;- abbia i lati obliqui isometrici; -abbia gli angoli adiacenti a ciascuna delle due basi isometrici.

Condizione sufficiente perchè un trapezio sia isoscele:

E' isoscele un trapezio che abbia gli angoli alla base isometrici.

T.2 E' isoscele un trapezio che abbia le diagonali isometriche.

T.3 E' isoscele un trapezio che abbia i lati obliqui isometrici.

Composizioni di simmetrie assiali

Congruenze e simmetrie assiali:

T.1 Qualunque isometria K può essere ottenuta come prodotto operatorio di tre simmetrie assiali al più.

Simmetrie centrali e simmetrie assiali:

T.1 Ogni simmetria centrale è prodotto di due simmetrie assiali con gli assi ortogonali.

Traslazioni e simmetrie assiali:

T.1 Ogni traslazione è prodotto di due simmetrie con gli assi paralleli.

Rotazioni

Rotazione

D.1 di centro O ed ampiezza, l'isometria determinata dai semi piani (OP)P' ed (OP')P'' in modo che:

1) L'angolo orientato POP' sia congruente all'angolo orientato P'OP''

2) La semiretta OP abbia come immagine la semiretta OP'.

Punti corrispondenti per rotazione:

T.1 O è unito nella rotazione perchè appartiene ad ambedue gli assi di simmetria, che sono luogo di punti uniti.

T.2 Se X è un qualunque punto del piano, e la rotazione trasforma X in X' sarà XO congruente a X'O, cioè punti corrispondenti in una rotazione sono equidistanti dal centro.

T.3 L'angolo XOX' è uguale all'angolo di rotazione.

T.$ I punti X ed X' corrispondenti in una rotazione sono equidistanti dal centro O e l'angolo XOX' è uguale all'angolo di rotazione.

Somma degi angoli interni di un poligono

La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale all'angolo piatto.

Angolo piatto:

E' l'angolo formato dal prolungamento di un lato del triangolo col lato successivo.

Proprietà dell'angolo esterno:

T.1 In un triangolo, l'angolo esterno è isometrico alla somma dei due angoli interni non adiacenti.

C.1 L'angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti.

Somma degli angoli interni di un poligono:

T.1 La somma degli angoli interni di un poligono è uguale a tanti angoli piatti quanti sono i vertici, meno due angoli piatti.

T.2 La somma degli angoli esterni di qualunque poligono è costante ed è eguale a due angoli piatti.

Angolo di rette orientate:

D.1 Angolo (rr') di due rette orientate ed incidenti l'angolo avente per lati le due semirette positive, possiamo concludere che (rr') è uguale a alfa.

T.1 L'angolo di due rette orientate corrispondentisi in una rotazione è uguale all'angolo di rotazione.

Rettangoli, rombi,quadrati

Rettangolo:

D1 Si chiama rettangolo un quadrilatero in cui i lati opposti hanno lo stesso asse di simmetria.

Rombo:

D.2 Si chiama rombo un quadrilatero in cui le diagonali sono assi di simmetria.

Condizioni necessarie per il rettangolo:

Il rettangolo è un parallelogrammo con tutti gli angoli retti , le diagonali (A C ) e (B D ) sono congruenti.

Condizioni sufficienti per il rettangolo:

T.1 Un quadrilatero che abbia i quattro angoli isometrici è un rettangolo.

T.2 Un parallelogrammo con le diagonali isometriche è un rettangolo.

Condizioni necessarie per il rombo:

Il rombo è un parallelogrammo che ha: 1) tutti i lati isometrici 2) le diagonali sono perpendicolari, con il medesimo punto medio 3) le diagonali sono bisettrici degli angoli da cui escono 4) ogni diagonale divide il rombo in due triangoli isosceli.

Condizioni sufficienti per il rombo:

Ciascuna delle predette condizioni è anche sufficiente a garantire che ABCD sia un rombo.

Quadrato:

Un rombo che abbia un angolo retto è detto quadrato.

Condizioni necessarie per il quadrato:

T.1 Un quadrato ha: 1) i lati opposti col medesimo asse di simmetria 2) tutti gli angoli retti 3) le diagonali isometriche (quadrato) 4) i lati isometrici 5) le diagonali perpendicolari 6) le diagonali bisettrici degli angoli oltre a godere di tutte le proprietà dei parallelogrammi (rombo).

Condizioni sufficienti per il quadrato:

T.2 Un quadrilatero in cui le diagonali si dimezzano, sono isometriche, ed una è bisettrice di un angolo, è un quadrato.