FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE - CAMPO DI ESISTENZA

Il campo di esistenza è l'insieme dei valori che posso attribuire alla variabile indipendente x per ottenere una y 323d38d reale.

DERIVATA

Si chiama derivata della funzione f(x) nel punto x0, il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale    al tendere comunque a zero dell'incremento h della variabile indipendente x.

Da un punto di vista geometrico la derivata della funzione f(x) è uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva di equazione y= f(x) nel punto [x0; f(x0)].

Se una f(x) è derivabile nel punto x0 è necessariamente continua in quel punto.

La derivata di una somma di due o più funzioni esiste ed è uguale alla somma delle derivate di ogni funzione.

La derivata di un prodotto di due funzioni esiste ed è uguale alla derivata del primo fattore, per il secondo fattore più il primo fattore per la derivata del secondo.

La derivata di un quoziente di due funzioni esiste ed è uguale ad una frazione avente per numeratore la derivata del numeratore per il denominatore meno il numeratore per la derivata del denominatore, e per denominatore il quadrato del denominatore.

Se in un intervallo (a; b) la derivata della funzione f(x) è positiva, allora la funzione è, in (a; b), crescente in senso stretto mentre se in un intervallo (a; b) la derivata della funzione f(x) è negativa, allora la funzione è, in (a; b) decrescente in senso stretto.

MASSIMO E MINIMO RELATIVO

Per massimi o minimi relativi si intende il punto più alto o più basso che la funzione assume in un certo intervallo.

Sia f(x) una funzione reale definita nell'intervallo [a; b] e x0 un punto di tale intervallo. Se esiste un intorno H del punto x0, per ogni x del quale, diverso da x0, risulta:

f(x)<= f(x0): si dice che x0 è un punto di massimo relativo;

f(x)>= f(x0): si dice che x0 è un punto di minimo relativo;

Regola pratica per la determinazione dei massimi e minimi relativi di una funzione derivabile

1_ si deriva la funzione f(x) e si trovano i valori che annullano la f'(x), cioè si determinano le soluzioni dell'equazione: f'(x)=0.

2_ Se x0 è una di queste soluzioni, si calcola la f''(x0). Se risulta f''(x0) 0 allora x0 è un punto di massimo o minimo relativo. In particolare sarà un massimo se f''(x0)<0 ed un minimo se f''(x0)>0.

3_ Se risulta che f''(x0)=0 non è possibile determinare se in x0 ci sia un massimo o un minimo, se non calcolando la f'''(x0). Quest'ultima, se 0 non determinerà né un massimo né un minimo.

MASSIMO E MINIMO ASSOLUTO

Per massimi o minimi assoluti si intende il punto più alto o più basso che la funzione assume nell'intero campo di esistenza.

Sia f(x) una funzione definita nell'intervallo [a; b]. Se in tale intervallo esiste un punto c in cui la funzione assume un valore non minore dei valori che essa assume negli altri punti di [a; b], il valore f( c)  si dice massimo assoluto della f(x) in [a; b] e il punto b si dice punto di massimo assoluto per la funzione f(x) in [a; b].

Al contrario, se in [a; b] esiste un punto d in cui la f(x) assume un valore non maggiore dei valori che essa assume negli altri punti di [a; b], il valore della f(d) si dice minimo assoluto della f(x) in [a; b], e il punto b si dice punto di minimo assoluto per la f(x) in [a; b].

Il massimo o minimo assoluto di una funzione f(x) continua in un intervallo [a; b], è assunto o nei punti critici, oppure negli estremi dell'intervallo.

La condizione necessaria per l'esistenza di un massimo o di un minimo è che la derivata prima sia uguale a zero (in quanto nel punto di massimo o di minimo la f(x) non potrà essere che 0, in quanto non è né crescente né decrescente. Dal punto di vista geometrico, la f'(x) è il coefficiente angolare della tangente della f(x) in un punto. Con un massimo o un minimo la tg sarà parallela all'asse x e avrà, quindi, il coefficiente angolare =0. La condizione sufficiente è che la derivata seconda sia diversa da zero perciò quando è >0 si ha un minimo, quando è <0 si ha un massimo.

C MARGINALE (C')

E' la variazione del costo totale che risulta da una variazione infinitesima della quantità prodotta.

RICAVO MEDIO (Rm)

E' il ricavo che l'impresa ottiene dalla vendita di una unità di prodotto; per questo si ottiene la formula p= R(q)/q in concorrenza perfetta e p(q)= R(q)/q nella imperfetta.

RICAVO MARGINALE (R')

E' la variazione del ricavo totale che risulta da una infinitesima variazione della quantità prodotta e venduta. In concorrenza perfetta R' =Rm.

MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO

Se Rt(q) =p*q allora p= Rt(q)- Ct(q).

Si ha il massimo profitto dove questa differenza è massima.

ELASTICITA'  DI UNA FUNZIONE (della domanda)

E' la misura della sensibilità media di variazione della quantità domandata al variare del prezzo da p1 a p2.

E= |q'd(p)* p/qd(p)|    E>1 (domanda elastica)

E=1 (domanda ad elasticità =1)

E<1 (domanda rigida)

PUNTI DI ACCUMULAZIONE

Si dice che il punto p è di accumulazione per un insieme piano E, se in ogni intorno circolare di centro p, cadono punti di E, distinti da p.

INSIEME APERTO

Un insieme I di punti di un piano si dice aperto se ogni suo punto è un punto interno, cioè quando l'insieme non contiene alcun punto di frontiera.

INSIEME CHIUSO

Un insieme I di punti si dice chiuso se esso contiene tutta la propria frontiera.

PUNTO INTERNO

Un punto p del piano si dice interno all'insieme I se esiste un intorno circolare di p che sia interamente costituito da tutti i punti che appartengono ad I.

PUNTO ESTERNO

Un punto p si dice esterno all'insieme I quando esiste un intorno circolare di p i cui punti siano tutti (compreso p) non appartenenti ad I.

PUNTO DI FRONTIERA

Un punto p si dice i frontiera per l'insieme I se in qualsiasi intorno circolare di P cade almeno un punto contenuto in I e un punto non contenuto in I;

DEFINIZIONE DI FUNZIONE REALE DI DUE VARIABILI REALI

Si dice che la variabile z è una funzione reale delle due variabili indipendenti x e y nell'insieme piano d, quando esiste una legge, di natura qualsiasi, che faccia corrispondere ad ogni punto p (x; y) dell'insieme d, uno e un solo valore della variabile dipendente z.

L'insieme piano d è detto insieme di esistenza (o dominio o insieme di definizione) della funzione z; l'insieme di numeri reali e dei valori assunti dalla funzione si dice codominio della funzione.

DERIVATA PARZIALE

Sia z= f(x; y) una funzione di due variabili definita in un rettangolo R del piano xy, e Po (x0; y0)un punto interno di R.

Assegnato alla variabile y il valore y0, la f(x; y) diventa una funzione f(x; y0) della sola variabile x, definita in un certo intervallo dell'asse x, proiezione ortogonale del segmento appartenente ad R e alla retta y= y0.

La funzione f1(x) = f(x; y0) si chiama funzione parziale della f(x; y).

Se questa funzione, f(x; y0), della sola variabile x, ammette derivata nel punto x0, questa si chiama derivata parziale prima rispetto alla x della f(x; y) nel punto (x0; y0), nell'ipotesi che esista e sia finito il limite a secondo membro.

Analogamente si può trovare e definire la derivata parziale prima rispetto alla y della f(x; y) nel punto (x0; y0).

LINEE DI LIVELLO

Si dicono linee di livello le proiezioni sul piano cartesiano di tutti i punti che hanno la stessa altezza.

MASSIMO E MINIMO RELATIVO (in funzioni a due variabili)

Si dice che il punto Po (xo; yo) è un punto di massimo relativo per la funzione f(x; y) se esiste un intorno circolare C del punto Po tale che per ogni punto (x; y) di A, contenuto in C risulti: f(x; y)<= f(xo; yo).

Si dice, invece, che Po è un punto  di minimo relativo se per tutti i punti (x; y) di A, contenuti in C, risulta: f(x; y)>= f(xo; yo).

I massimi e minimi di una funzione sono detti estremi di questa funzione: si dice che una funzione ammette un estremo in un dato punto se essa ha in questo punto un massimo o un minimo.

MASSIMI E MINIMI VINCOLATI

A volte i massimi e minimi di una funzione a più variabili non sono indipendenti, ma legati a condizioni (rappresentate da equazioni).

Dovremo, allora considerare la f(x; y) non per tutti i pinti del piano, ma esclusivamente nei punti del piano che soddisfano il vincolo dato.

Il punto Po (xo; yo) di I si dice che è un punto di massimo relativo vincolato per la funzione f(x; y), se esiste un intorno circolare H di Po nel quale risulta f(x; y)<= f(xo; yo), per tutti i punti (x; y) di H che appartengono all'insieme I.

Il punto Po è di massimo assoluto vincolato se per tutti i punti (x; y) di I si ha: f(x; y)<= f(xo; yo).

CONDIZIONI PER L'ESISTENZA DI ESTREMI

Se il punto Po (xo; yo) di A è un punto di massimo o di minimo relativo per la f(x; y), e se in esso la f(x; y) è parzialmente derivabile rispetto a x e y, allora risulta: f'x(xo; yo)=0, f'y(xo; yo)=0.

Ogni punto ove si annullano le due derivate parziali prime della f(x; y) viene detto punto stazionario o critico della f(x; y).

Ogni punto di massimo, o di minimo relativo, è necessariamente un punto critico.

Un punto Po (xo; yo) stazionario per la funzione f(x; y) è detto punto di sella se ogni intorno di (xo; yo) contiene dei punti (x; y) tali che f(x; y)< f(xo; yo) e altri punti tali che f (x; y)> f(xo; yo).

Se una funzione f(x; y) ha derivate parziali seconde, si chiama "hessiano" della f(x; y), la funzione:   |f''xx (x; y) f''xy (x; y)|

H(x; y)= |f''yx (x; y) f''yy (x; y)|