FUNZIONI CONCAVE E CONVESSE - TEOREMA

matematica

FUNZIONI CONCAVE E CONVESSE

Si dice che una curva in un punto x0 volge la concavità verso l'alto (concava) o verso il basso (convessa) quando in un intorno completo di x0 la curva rimane al di sopra della tangente in x0 oppure al di sotto della tangente.

x0 è un punto di flesso 555b11f quando in x0 abbiamo che la curva cambia concavità.

Osservazioni: se y= f(x) è continua e derivabile con le sue derivate I e II, possiamo dire che y= f(x) è concava in x0 se e soltanto se f ''(x0) è maggiore o uguale a zero.

TEOREMA

y = f(x) continua in [a ; b] con derivate I e II si dice che:

ha concavità verso il basso se f ''(x0) <0

in x0 appartenente ad ]a ; b[ si ha concavità verso l'alto (concava) se per ogni x appartenente all'intorno di x0 avremo f ''(x0)>0

x0 è punto di flesso se per ogni x appartenente all'intorno di x0 avremo che f ''(x0) =0 e

f '''(x0) = 0

Enunciato:

Condizione necessaria ma non sufficiente affinché f(x) dotata di derivate I e II continue in x0, abbia in x0 un flesso è che si verifichi f ''(x0) = 0

TEOREMA GENERALE SUI FLESSI

Y = f(x) definita e continua in ]a ; b[ insieme a tutte le sue derivate successive se in x0 si ha:

f '(x0) = f ''(x0) =...f elevato alla (n-1) di (x0) =0

se n è dispari allora y = f(x) ha in x0 un punto di flesso;

se n è pari: 1) f (elevata alla n) di (x0) > 0 allora x0 è ascissa di punto di minimo

2) f (elevata alla n) di (x0) < 0 allora x0 è ascissa di punto di massimo

COSA SI DEVE FARE:

Fare la derivata prima e calcolare i punti in cui si annulla, cioè porla uguale a zero: f '(x) = 0

Si sostituiscono i valori trovati nelle derivate successive. Se la prima derivata che non si annulla è di indice pari( ad esempio, la derivata quarta) ed è < di zero, il punto stazionario che abbiamo sostituito è un punto di massimo; altrimenti se la derivata è di indice pari e < di zero, allora il punto che ho sostituito è di minimo.

Se la prima derivata che non si annulla è di indice dispari ( ad esempio la derivata terza), allora il punto sostituito è di flesso.