EQUAZIONI E DISEQUAZIONI - IDENTITA' ED EQUAZIONI

b)  La differenza di un numero con se stesso è uguale a zero

Traduciamo in termini matematici , indicando con x il numero di cui si parla:

a) x + x = 2x  b) x-x = 0

Otteniamo delle uguaglianze fra espressioni letterali che sono sempre vere qualunque sia il valore che diamo a x .

REGOLA :

" LE UGUAGLIANZE CHE TRADUCONO IN TERMINI MATEMATICI DELLE FRASI VERE

SONO SEMPRE SODDISFATTE E SI DICONO IDENTITA'. ""

" L'IDENTITA' E' UNA UGUAGLIANZA FRA DUE ESPRESSIONI ( DI CUI ALMENO UNA LETTERALE ) VERIFICATA PER QUALSIASI VALORE DELLE LETTERE CHE VI FIGUARANO."

"LE UGUAGLIANZE CHE TRADUCONO IN TERMINI MATEMATICI DELLE FRASI

APERTE SONO SODDISFATTE SOLO PER DETERMINATI VALORI E SI DICONO EQUA-

ZIONI."

" UN'EQUAZIONE E' UN'UGUAGLIANZA FRA DUE ESPRESSIONI (DI CUI ALMENO

UNA LETTERALE) VERIFICATA SOLO PER PARTICOLARI VALORI DELLE LETTERE

CHE VI FIGURANO."

Prendiamola seguente frase aperta:

- Il triplo del quadrato di un numero aumentato di 5 è uguale al doppio del numero stesso diminuito

di 3, traduciamola in equazione:

3x + 5 = 2x-3

Le due espressioni letterali che formano l'uguaglianza si dicono rispettivamente 1° membro e 2° membro dell'equazione.

3x + 5 = 2x - 3

Le lettere (o la lettera) che compaiono nell'espressione sono le (o la) INCOGNITE dell'equazione:

3x + 5 = 2x - 3

In base al numero di lettere diverse che compaiono in una equazione, si dice EQUAZIONE A UNA, A DUE, A TRE... INCOGNITE.

Tutti i termini che non contengono le incognite si dicono TERMINI NOTI.

3x +5 = 2x-3

Il grado più elevato dei vari monomi che formano l'equazione si chiama GRADO DELL'EQUAZIONE.

I particolari valori delle incognite che rendono vera l'equazione si dicono SOLUZIONI o RADICI dell'equazione.

Le soluzioni di un'equazione sono numeri appartenenti ai vari insiemi numerici studiati, l'insieme a cui appartengono le soluzioni si chiama INSIEME VERITA' (O AMBIENTE) dell'equazione.

Risolvere un'equazione significa calcolare tutte le sue soluzioni o radici.

Un'equazione si dice INTERA se l'incognita non figura al denominatore, si dice FRAZIONARIA O FRATTA in caso contrario.

TRATTIAMO ORA DI EQUAZIONI INTERE DI PRIMO GRADO A UNA INCOGNITA.

PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI.

6x + 4 = 28 10x = 6x + 16

x = 4

6 . 4 + 4 = 28 10 .4 = 6 . 4 + 16

24 + 4 = 28 40 = 24 + 16

28 = 28 40 = 40

" DUE EQUAZIONI SI DICONO EQUIVALENTI SE HANNO LE STESSE SOLUZIONI"

Per risolvere qualsiasi equazione è opportuno trasformarla in una equazione ma di forma più semplice. Vediamo come fare esaminando i due principi di equivalenza delle equazioni.

1° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

"ADDIZZIONANDO O SOTTRAENDO AI DUE MEMBRI DI UN'EQUAZIONE UNO

STESSO NUMERO O UNA STESSA ESPRESSIONE ALGEBRICA CONTENENTE

L'INCOGNITA SI OTTIENE UN'EQUAZIONE EQUIVALENTE A QUELLA DATA"

APPLICAZIONE DEL 1°PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

1) Consideriamo l'equazione 5x + 7 = 27 , togliamo da entrambi i membri il numero 7 diventa:

5x + 7 -7 = 27 -7 ovvero 5x = 27 - 7

Se confrontiamo le due equazioni 5x + 7 = 27 e 5x = 27 - 7 osserviamo che l'applicazione del 1° principio di equivalenza si riduce a spostare il termine noto dal primo membro al secondo membro dove lo ritroviamo cambiato di segno.

" IN OGNI EQUAZIONE UN TERMINE QUALSIASI PUO' ESSERE SPOSTATO DA UN

MEMBRO ALL'ALTRO PURCHE' LO SI CAMBI DI SEGNO (LEGGE DEL TRASPORTO).

Consideriamo l'equazione 3x - 5 = 2x + 10 - 5 , applichiamo la legge del trasporto spostando il termine - 5 dal primo al secondo membro cambiandolo di segno, diventa:

3x = 2x + 10 -5 + 5 ovvero 3x = 2x + 10

Confrontando abbiamo eliminato il termine - 5 presente in entrambi i membri.

" SE IN ENTRAMBI I MEMBRI DI UN'EQUAZIONE FIGURANO DUE TERMINI UGUALI, ESSI POSSONO ESSERE ELIMINATI."

2° PRINCIPIO DI EUIVALENZA

"MOLTIPLICANDO O DIVIDENDO ENTRAMBI I TERMINI DI UN'EQUAZIONE PER UNO

STESSO NUMERO (DIVERSO DA ZERO) SI OTTIENE UN'EQUAZIONE EQUIVALENTE A

QUELLA DATA".

APPLICAZIONE DEL 2° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

1) Consideriamo l'equazione 5x - 4 = 2 e moltiplichiamo per - 1 i membri:

-1 . (5x-4) = -1 . 2 ovvero -5x + 4 = -2

Confrontando, si nota che praticamente si passa dalla prima alla seconda cambiando di segno tutti i termini dell'equazione.

"CAMBIANDO IL SEGNO DI CIASCUN TERMINE DI UN'EQUAZIONE SE NE OTTIENE UNA EQUIVALENTE A QUELLA DATA. "

2) "UN'EQUAZIONE A TERMINI FRAZIONARI SI PUO' RIDURRE A UN'EQUAZIONE A

TERMINI INTERI A ESSA EQUIVALENTE MOLTIPLICANDO TUTTI I SUOI

TERMINI PER IL M.C.M. DI TUTTI I DENOMINATORI.

L'ELIMINAZIONE DEI DENOMINATORI SI DICE RIDUZIONE DI UN'EQUAZIONE A

FORMA INTERA."

RISOLUZIONE DI UN'EQUAZIONE DI 1° GRADO

Per risolvere un'equazione ridotta in forma normale basta applicare il 2° principio di equivalenza dividendo entrambi i membri dell'equazione per il coefficiente della x :

ax = b x = b / a

"PER RISOLVERE UN'EQUAZIONE RIDOTTA IN FORMA NORMALE BASTA DIVIDERE IL TERMINE NOTO DELL'EQUAZIONE PER IL COEFFICIENTE DELL'INCOGNITA."

Per risolvere una qualsiasi equazione di 1° grado a una incognita possiamo usare la seguente regola:

Si eliminano le parentesi eseguendo le operazioni indicate secondo le regole del calcolo letterale

Se l'equazione è a termini frazionari, si riduce in forma intera moltiplicando tutti i suoi termini per il m.c.m. dei denominatori.

Si trasportano tutti i termini in x al primo membro e tutti i termini noti al secondo membro tenendo presente la legge del trasporto.

Si eseguono le addizioni algebriche ottenute al primo e al secondo membro in modo tale da ottenere l'equazione in forma normale.

Si determina la soluzione x = b/a

EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE, IMPOSSIBILI.

1° caso ax = b con a,b diversi da 0

La soluzione x = b/a esiste ed è unica; l'equazione si dice DETERMINATA

2° caso ax = b con a diverso da 0 e b = 0

La soluzione x = 0/a esiste ed è unica x = 0; l'equazione si dice DETERMINATA

3° caso ax = b con a = 0 e b diverso da 0

L'equazione diventa 0.x = b , siccome non esiste numero che moltiplicato per o ci dia un

Risultato che non sia 0, l'equazione non ha soluzione, si dice IMPOSSIBILE.

4° caso ax = b con a,b = 0

L'equazione diventa 0 . x = 0 siccome qualsiasi numero moltiplicato per 0 da 0,

l'equazione ammette come soluzione un numero qualsiasi, cioè infinite soluzioni

si dice INDETERMINATA.

VERIFICA DI UN'EQUAZIONE.

"SOSTITUIRE ALL'INCOGNITA LA SOLUZIONE TROVATA SEPARATAMENTE, AL 1° E AL 2° MEMBRO DELL'EQUAZIONE, CALCOLARE IL VALORE NUMERICO DELLE DUE

ESPRESSIONI OTTENUTE E CONSTATARE L'UGUAGLIANZA DEI DUE VALORI."