CALCOLO COMBINATORIO - APPLICAZIONI ALLA PROBABILITA'

matematica

CALCOLO COMBINATORIO

Il calcolo combinatorio prende in considerazione degli insiemi finiti particolari e ne conta il n° di elementi.

Se "I" è un insieme contenente solo un n° finito di elementi, tale n° è un n° naturale, detto ordine o cardinalità di "I".

APPLICAZIONI ALLA PROBABILITA'

Il calcolo combinatorio ha molte applicazioni al calcolo delle probabilità.

Consideriamo un insieme di eventi semplici che consideriamo come equiprobabili. Un modo semplice di schematizzare questa situazione è quella di considerare un insieme con n elementi a ciascuno dei quali assegnamo probabilità 1/n.

Esempio 1: Se lanciamo una moneta possiamo considerare l'uscita di T e di C come eventi equiprobabili con probabilità ½. L'insieme è .

Esempio 2: Se lanciamo un dado possiamo considerare l'uscita di ciascuna delle sue facce come eventi equiprobabili con probabilità 1/6. L'insieme è I₆ = .

Se lanciamo 2 volte di seguito il dado gli eventi elementari saranno le coppie di n° di I₆ x I₆, ciascuno con probabilità 1/36.

Spesso ci si riferisce ad A come all'insieme dei casi possibili e a B come all'insieme dei casi favorevoli. La probabilità di B è il rapporto:

casi favorevoli

casi possibili

Esempio 3: Se lanciamo un dado la probabilità che esca un n° dispari ha come insieme dei casi

favorevoli B = ; quindi la sua probabilità è:

B 3 1

= =

A 6 2

Esempio 4: Consideriamo il lancio di una moneta per 2 volte. I risultati sono = T 2 volte;

= C T; = T e C e = C 2 volte; ossia ¼ ciascuno.

Però, se consideriamo solo il n° delle uscite di T, le sequenze TC e CT diventano equivalenti e quindi la probabilità dell'uscita di una T e una C diventa ½.

N° di volte che T esce nei 2 lanci, con probabilità ¼ per 0 e per 2 e probabilità ½ per 1.

Questo è un esperimento aleatorio.

LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE

Supponiamo di avere a che fare con prove ripetute di eventi a 2 soli esiti che chiameremo: successo e insuccesso.

Una tale situazione è detta processo bernoulliano se:

• La probabilità p di successo è la stessa in ogni prova;
• Le prove sono indipendenti: il risultato di ogni prova non influenza quello delle prove successive.

Esempio: Lanciamo per 5 volte una moneta e ci chiediamo qual è la probabilità che esca T 2 volte. La variabile aleatoria è "X = n° di uscite di T su 5 lanci" e il valore cercato è P(X = 2). Ad ogni lancio la probabilità che esca T (oppure C) è p = ½.

La seguente formula dà la probabilità di X = i successi in n prove indipendenti con probabilità di successo p:

n

P(X = i) = pⁱ(1 - p)^n-i

i

Dato l'esempio si avrà:

5 1 ⁵ 5

P(X = 2) = = ~ 0,31 = 31%

2 2 16