CENNI SULLE RENDITE

la banca presso la quale si rivolge abitualmente corrisponde il tasso del 12%.

Si vuole sapere quanto è il montante di cui potrà disporre fra 15 anni supponendo che la persona depositi subito in banca le somme  via via riscosse e che il tasso resti invariato per tutto il periodo.

Soluzione:

il problema è di semplice soluzione: l'ultima somma non produce alcun interesse, quella esigibile all'epoca 14 resta a frutto per un anno, quella esigibile all'epoca 13 per due anni, .., quella esigibile all'epoca 2 produce interessi per 13 anni e, infine quella esigibile all'epoca 1 resta a frutto per 14 anni.

Il montante richiesto vale, quindi:

M= 1.275.000+1.275.000*1,12+1.275.000*1,12^2+.+1.275.000*1,12^13+1.275.000*1,12^14=1.275.000*(1+1,12+1,12^2+...+1,12^13+1,12^14)

A questo punto basta eseguire i calcoli (cercare sulle tavole o con una calcolatrice i valori delle potenze di 1,12 , sommarli e moltiplicare il totale per 1.275.000).

Il procedimento , lungo e noioso, può essere notevolmente accorciato osservando che la quantità racchiusa in parentesi è la somma dei primi quindici termini di una progressione geometrica di ragione 1,12 e primo termine 1.

Se si ricorda che la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione q(con q>1) e avente come primo termine a1 , allora il tutto si può riscrivere come :

e quindi si determina il montante come :

M=1.275.000*37,27971=L.47.531.630

Alternativamente ci si può chiedere quale somma può ottenere oggi quella persona cedendo il diritto di riscuotere le somme suddette nell'ipotesi che il valore attuale sia determinato al tasso del 12%.

Anche in questo caso il procedimento è semplice: la somma esigibile all'epoca 1 viene scontata per 1 anno, quella esigibile all'epoca 2 per 2 anni, e così via, quella esigibile all'epoca 14 per 14 anni e l'ultima per 15 anni.

Il valore attuale allora risulta:

V=1.275.000*1,12^-1+1.275.000*1,12^-2+..+1.275.000*1,12^-14+1.275.000*1,12^-15=

allora come nel caso precedente , all'interno della parentesi si trova la somma dei primi quindici termini di una progressione geometrica, questa volta di primo termine 1,12^-1 e di ragione 1,12^-1.

La formula dunque, essendo q<1, è la seguente:

allora il valore attuale è:

V=1.275.000*6,81087=8.683.860

Quindi valendo i presupposti suddetti le due formule principali viste sono:

calcolo del montante:

M = rata annuale* 1 *(1,12^15-1)/(1,12-1)

calcolo del valore attuale:

V= rata annuale * 1,12^-1*(1-1,12^-15)/(1-1,12^-1)

VALUTAZIONE DI UNA RENDITA UN PERIODO PRIMA DELLA RATA O ALLA SCADENZA DELL'ULTIMA RATA:

Introduciamo preliminarmente la nomenclatura tecnica adatta a descrivere  le situazioni prima delineate.

Si dice rendita una successione qualsiasi di somme esigibili o da pagarsi a epoche diverse.

Si chiamano rate le varie somme esigibili o da pagarsi .

Si dicono scadenze le epoche in cui le somme(rate) possono essere riscosse o devono essere pagate.

Si dice valore di una rendita ad una data epoca l'unica somma, esigibile o da pagarsi a quell'epoca, con cui è equo scambiare la rendita.

Il valore di una rendita dipende sia dal tasso fissato che dalle leggi di capitalizzazione e di sconto usate.

In questo contesto useremo soltanto le leggi di interesse e di sconto composti.

Se l'epoca a cuisi determina il valore di una rendita coincide con la scadenza della prima rata o è ad essa anteriore, spesso diremo valore attuale della rendita il suo valore a quell'epoca , mentre se coincide con la scadenza dell'ultima rata o è ad essa posteriore , spesso diremo montante invece di valore della rendita.

La locuzione più generale, che può essere usata in ogni caso, è comunque valore della rendita all'epoca fissata.

Il valore di una rendita ad una data epoca si determina come il valore all'epoca data della prestazione finanziaria determinata dalla rendita stessa.

ESEMPIO 1: VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA AD  OGGI:

Una persona ha diritto a ricevere L. 730.000 all'anno , per 12 anni, a partire dal prossimo anno.

Se cede questo diritto al tasso del 9,7%, quanto riceve.

Osservazioni:

Si tratta di calcolare il valore attuale della rendita ad oggi.

Quando si parla di valore attuale si utilizza la scrittura seguente:

a

tempo tasso 848e49i  

che si legge come a figurata il tempo al tasso del...

In generale i valori come a figurato tempo e tasso si trovano sulle tavole finanziarie(analogamente i valori s figurato n° rate  e tasso(non tempo e tasso come per il valore attuale), che si utilizzano per il calcolo del montante e non del valore attuale, si trovano anch'esse tramite le tavole finanziarie).

SOLUZIONE:

il valore attuale si trova come:

V= 730.000 * a 848e49i 848e49i 848e49i 848e49i 848e49i 848e49i 848e49i 12 0,097

V=730.000*( 1-1,097^-12)/0,097 = 730.000*6,915=L.5.047.950

che esprime il valore attuale ad oggi di 730.000 esigibili per 12 anni, ogni anno, e dal prossimo anno, nel caso che oggi si cede tale diritto a riscuotere la suddetta rendita.

ESEMPIO 2: MONTANTE DI UNA RENDITA A SCADENZA:

Una persona deposita ogni mese in banca , per 9 anni e 7 mesi , L. 250.000.

Quale somma può ritirare subito dopo l'ultimo versamento se la banca ha capitalizzato ogni mese allo 0,75% mensile?

SOLUZIONE:

il numero totale delle rate è 9*12 +7= 115, per cui si ha:

M=250.000* s 848e49i 848e49i 848e49i 848e49i 848e49i 848e49i 848e49i    115 0,0075

M=250.000*(1,0075^(115)-1)/(0,0075)=250.000*181.530=45.382.500

che rappresenta la somma riscuotibile dopo il versamento di 115 rate d'importo pari a 250.000 in un periodo di 9 anni e 7 mesi al tasso dello 0,75% mensile.

VALUTAZIONE DI UNA RENDITA AD UN'EPOCA QUALSIASI:

ESEMPIO:

Una persona ha versato in banca L.500.000 al tasso del 9% ogni anno: il primo versamento è avvenuto il primo gennaio 1967, l'ultimo il primo gennaio 1978.

Quale somma ha ritirato dalla banca il primo marzo 1980?

SOLUZIONE:

le rate versate sono state 12(dal 1967 al 1978).

Il montante alla scadenza del primo gennaio 1978 era:

M=500.000* s 848e49i 848e49i 848e49i 848e49i 848e49i 848e49i 848e49i   12 0,09

Ovvero M=500.000*(1,09^12-1)/(0,09)=10.070360

Per rispondere alla domanda occorre capitalizzare quest'ultima cifra per i restanti 2 anni e 2 mesi.

Usando la capitalizzazione semplice per i due mesi si ha che il montante al primo marzo del 1980 è dato da:

M= 500.000*s 848e49i 848e49i 848e49i 848e49i 848e49i 848e49i 848e49i    12 0,09

Il tutto moltiplicato per 1,09^2*(1+0,09*2/12)

Ovvero: 10.070.360*(1,1881)*(1+0,015)=10.070.360*(1,1881)*(1,015)=12.144.064

Ed il totale o montante dunque risulta essere pari a: L.12.144.064.