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TEORIA DEI SEGNALI - SEGNALI CERTI

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TEORIA DEI SEGNALI

SEGNALI CERTI

- GRANDEZZE ASSOCIATE AI SEGNALI (energia, potenza, media, mutua energia e potenza, invarianza per traslazione, durata convenzionale di un segnale) 

- SPAZI VETTORIALI DI SEGNALI (prodotto scalare=mutua energia o potenza, segnali ortogonali e paralleli, somme di se 414f51e gnali (Ex+y=Ex+Ey+2Re[Exy]), basi ortogonali ed ortonormali, coordinate, norma di un segnale, teorema di Parseval Ex,Px=å|xk|2 ed Exy,Pxy=åxkyk*)



- SERIE E TRASFORMATA DI FOURIER (teorema di Parseval, trasformate di alcune funzioni, proprietą delle trasformate (vedi dopo), integrazione e derivazione dei segnali di energia).

- CONVOLUZIONE TRA 2 SEGNALI (la trasformata č il prodotto delle trasformate, calcolo della convoluzione, proprietą: commutativitą, durata T=Tx+Ty, traslazione nel tempo c(t-tx-ty)).

- CORRELAZIONE PER SEGNALI DI ENERGIA (proprietą: Rxy(0)=Exy, Rxy(t)=R*yx(-t), |Rxx(t)|<|Rxx(0)|, la trasformata dell' autocorrelazione č½X(f)½2, della mutua correlazione č X(f)Y*(f) (Ž spettro di densitą di mutua energia), invarianza per traslazioni) 

- CORRELAZIONE PER SEGNALI DI POTENZA: proprietą: Rxy(0)=Pxy, Rxy(t)=R*yx(-t),|Rxx(t)|<|Rxx(0)|, segnali periodici Rxy(t)=åxk*ykej2pft, F[Rxy(t)]=spettro di densitą di potenza, Rxx(t) č dello stesso periodo e precisamente Rxx(t)=1/TåRgg(t-kT)

- ANALISI ARMONICA GENERALIZZATA (unificazione di segnali di energia e di potenza attraverso la Rxy(t) e Sx(f), proprietą della densitą spettrale Sxy(f): ņSx(f)=Ex o Px, č reale, non negativa e pari, Rxy=x(t)*y*(-t) (o Ryx a seconda di come lo si definisce) ,

- SISTEMI LINEARI:

·  Proprietą: sovrapposizione degli effetti (Ž sistema lineare), permanenza (o stazionarietą), causalitą, stabilitą, istantaneitą (o mancanza di memoria).

·  Risposta impulsiva h(t,t) cioč y(t)=T[x(t)]=(dimostrazione) (ipotesi di stazionarietą Žh(t-t)Žy(t)=x(t)*y(t), causalitą Žņ0, stabilitą Žh(t) č al quadrato sommabile Ž$ F[h(t)]).

·  funzione di trasferimento H(f)=M(f)ejj(f) (risposta in ampiezza e fase): (risposta ad un segnale armonico,sinusoidale e periodico, conseguenze dell'ipotesi di causalitą sulla H(f), esempi di calcolo di H(f), H(f) nei circuiti, sistemi in serie Heq=H1×H2, in parallelo Heq=H1+H2, retroazione Heq=H1/(1-H1×H2), distorsione lineare, filtri).

·  Legame tra Rxx dell'ingresso e Ryy dell'uscita Ryx(t)=Rxx(t)*h(t), jhh(t)=h(t)*h*(-t)=funzione di autosistema, Ryy(t)=Rxx(t)*jhh(t) ŽSy(f)=Sx(f)½H(f)½2).

- SISTEMI NON LINEARI (non si puņ definire h(t), aggiungono componenti frequenziali, esempi di dispositivi non lineari)

- MODULAZIONE SU PORTANTI SINUSOIDALI  A(t)cosy(t)=A(t)cos[2pf0t+j(t)]:

·  Inviluppo A(t), fase istantanea y(t) e frequenza istantanea y'(t)/2p; deviazione istantanea di fase e frequenza. In generale il segnale modulato č un passabanda, descrizione delle tre modulazioni.

·  Inviluppo complesso =A(t)ejj(t), segnale zx(t)= e loro interpretazione (ŽZx(f)=2X+(f) e =Zx(f+f0) con x+(t)=segnale analitico), x+(t) si ottiene da x(t) tramite  (x+(t)=), Žx(t)=Re[zx(t)]

·  trasformata di hilbert:  č un filtro HH(f)=-jsgn(f), proprietą (sono 4), č responsabile della soppressione della parte di spettro di X(f) a frequenze negative (serve per calcolare x+(t) in funzione di x(t)).

·  componenti analogiche di bassa frequenza xc(t)+jxs(t)=: legame diretto e inverso con x(t) e  (in particolare x(t)=xc(t)cos2pfxt-xs(t)sen2pfxt=doppia modulazione), sono le antitrasf. delle parti pari e dispari di .

·  Interpretazione grafica di e zx(t).

·  Considerazioni energetiche: (             ,                         ,               ,             , <Xc,Xs>=0,                    ).

·  Demodulazione in ampiezza (demodulatore normale e coerente).

·  Modulazione SSBs

- CAMPIONAMENTO DEI SEGNALI: xc(t)=åx(tk)d(t-tk) (Lo spettro del segnale campionato č Xc(f)= =FcåX(f-kFc)=infinite repliche a distanza Fc dello spettro X(f), condizione di Nyquist, teorema del campionamento x(t)=åx(kTc)senc(pFct-kp) detto anche interpolazione del 1o ordine, campionamento con tenuta, campionamento di segnali passa-banda).

TEORIA DELLA PROBABILITA'

- DEFINIZIONI: Esperimento, evento, spazio campione, probabilitą di un'evento(approccio frequentistico, classico, assiomatico), 3 assiomi: P(A)³0, P(S)=1, AĒB¹Ę Ž P(AČB)=P(A)+P(B)

- PROBABILITA' CONDIZIONATA:  def. ,  A e B statisticamente indipendenti se P(B|A)=P(B) Ž P(A,B)=P(A)P(B), teorema della probabilitą totale P(M)=åP(M|Ai)P(Ai), teorema di bayes.

- VARIABILI ALEATORIE:

·   Distribuzione di probabilitą Fx(x) per def. č P(x£x), def. della densitą di probabilitą come la derivata di Fx(x)

·   v.aleatorie discrete:

1       v.binomiale (numero di successi su n prove) fx(x)=                     mx=np

2     v.di poisson (n°di successi su n® prove con p®0 e np®l) fx(x)= mx=l

·  

2  v.gaussiana fx(x)=

 
v.aleatorie continue

1  v.uniforme fx(x)=

4   v.di cauchy  fx(x)=

 
3  v.di rayleigh  fx(x)= 

5  v.di rice  fx(x)=      (con I0==funzione di Bessel)

6  v.esponenziale  monolatera: fx(x)=le-lxu-1(x) (m=1/l s2=1/l2), bilatera: fx(x)= (m=0 s2=1/l2)

7 v.gamma fx(x)=con =(b-1)! (per b=1 si ottiene l'espon.monolatera) invece per b=n=intero si ottiene la v.di erlang mentre per b=n/2 e a=1/2 si ottiene la v.chi-quadro.

·   composizione di var. aleat. (h=g(x) assume g(x1) con la prob. con cui x assume x1: es. h=x2) localmente, per f.monotone si ha: fh(y)= ,per operazioni lineari h=ax+b:  fh(y)=

·   momenti E[xn] e E[(x-m)n] m1=valor medio, m2=valore quadratico medio, m1=0, m2=s2=varianza =m2-m2, se fx(x) pari Ž m2n+1=0 e m2n+1=0, mediana e moda, mn= e mn=, skewness (simmetria) e kurtosis (gaussianitą).

·   funzione caratteristica  C(u)==E[ejux] (č un'antitr.di Fourier, fx(x)=), caso discreto C(u)=åPkejuk, Cx(0)=1 (cond.di normalizzazione), f.caratteristiche di variabili aleatorie particolari (cauchy e gaussiana), proprietą:  e .

-VARIABILI ALEATORIE BIDIMENSIONALI

·   Def distribuzione congiunta Fxh(x,y), distr.marginale Fxh(x,+), densitą congiunta, densitą marginale.

·   Per eventi indipendenti (vedi probabilitą condizionata) Fxh(x,y)=Fx(x)Fh(y) e, derivando, vale anche fxh(x,y)=fx(x)fh(y).

·   Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane (le densitą marginali sono gaussiane).

·   Momento congiunto mij=E[xihj], m. centrale congiunto mij=E[(x-mx)i(h-my)j], m11=E[xh]=correlazione, m11=Cov(x,h)=covarianza, r==coefficiente di correlazione (-1£r£1), r=±1 Ū h=±ax+b con a>0, r=0 Žincorrelate, E[x,h]=0 Žortogonali, x,h indipendenti ÜŽ incorrelate ("Ü" vale per le congiuntamente gaussiane), cov(x,h)=corr(x,h)-mxmy.




-TRASFORMAZIONI DI VAR. ALEAT. BIDIMENSIONALI

·   Composizioni di due variabili in una: w=x+h (+caso gaussiano), w=xh, w=x/h, w=, w=max(x,h), w=min(x,h).

·   Doppia trasformazione , teorema fwz(w,z)=

·   linearitą del momento e[ ]: se h=g(x) Ž E[h]=ņg(x)fx(x)dx, e se w=g(x,h) Ž E[w]=ņņg(x,y)fxh(x,y)dxdy, da ciņ si dimostra che E[ax+bh]=aE[x]+bE[h].

-VARIABILI ALEATORIE CONDIZIONATE: def.analoga alla probabilitą condizionata Fx|B(x|B)=P(x£x,B)/P(B),

·   B="h£y"  Ž  Fx(x|h£y) e fx(x|h£y) che č la derivata

·   B="h=y"="y£h£y+dy"  Ž  Fx(x|y) e fx(x|y)

Proprietą analoghe alla probabilitą condizionata.

- VARIABILI ALEATORIE N-DIMENSIONALI: matrici R, C e M, proprietą R - MTM = C

- TEOREMA LIMITE CENTRALE

PROCESSI ALEATORI

-DEFINIZIONI(Tempo/stato-continui e discreti, statistiche=distribuzioni e densitą del 1°.n° ordine)

-PROPRIETA'

·   Del 1°ordine: valor medio mx(t)=ņxf(x,t)dx=E[X(t)], Potenza Px(t)=E[X2(t)], varianza m2(t)=sx2(t)=Px(t)-mx2(t).

·   Del 2°ordine:autocorrelazione Rxx(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)], (potenza Px(t)=E[X2(t)]=Rxx(t,t)), autocovarianza Cxx(t1,t2)=Rxx(t1,t2)-m(t1)m(t2), (varianza sx2(t)=Px(t)-mx2(t)= Cxx(t,t)).

·   In generale per le statistiche di ordine n: Momento mhk(t1,t2)=E[X1hX2k], Momento centrale mhk(t1,t2)= =E[(X1-m1)h(X2-m2)k]

·   Per le mutue statistiche del 2°ordine: Mutua Correlazione Rxy(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)],Mutua Covarianza Cxy(t1,t2)=. , Coefficiente di Correlazione rxy(t1,t2)=Cxy(t1,t2)/sx(t1)sy(t2), (stesse proprietą del rxy delle var. aleatorie).

-ESTENSIONE AI PROCESSI COMPLESSI: Rxx(t1,t2)=E[X1X2*]=Rxx*(t2,t1),Px(t)=E[|X(t)|2],Cxx(t1,t2)=Rxx(t1,t2)-m(t1)m*(t2) (analogamente Rxy e Cxy)

-PROCESSI STAZIONARI

·   SSS se f.di densitą dipende dalle n-1 tn-tn-1, . ,t2-t1, proprietą: stazionarietą di grado n Ž stazionarietą di grado 1.n-1, SSS di grado 1 Ž mx,s2x,Px,mx=cost. , SSS di grado 2 Ž Rxx(t),  Cxx(t)=Rxx(t)-mx2

·   SSL se mx(t)=cost. e Rxx(t1,t2)=Rxx(t).

·   Rxx(0)=Px=Rxx(t,t)=Px(t), Cxx(0)=sx2=Cxx(t,t) Ž un processo SSL ha una potenza fissa.

·   Estensione ai proc. complessi Rxx(t)=E[X(t)X*(t-t)], Cxx(t)=Rxx(t)-|mx|2 (analogia coi segnali certi).

·   Proc. congiuntamente SSL se Rxy(t), processi mutuamente ortogonali se Rxy(0)=0, incorrelati se Rxy(t)=0.

·   Altre proprietą:  Ž  (non vale sempre), Ryx(t)=Rxy*(-t), Cyx(t)=Cxy*(-t), Z(t)=X(t)+Y(t) č SSL se lo sono X(t) e Y(t), Pz=Px+Py+Pxy+Pyx

-ESEMPI DI PROCESSI ALEATORI

·   proc. normale(gaussiano): X(t) congiuntamente gaussiane per ogni t1.tn, completamente determinato da mx(t) e Cxx(t1,t2), unico caso in cui SSL Ž SSS (dimostrazione).

·   proc. bianco: Cxx(t)=Rxx(t)=kd(t), mx=0, X(ti) e X(tj) sono incorrelate per ogni ti¹tj perché C(ti,tj)=0, Px=R(t,t)=R(0)=+=sx2, passaggio in un sistema lineare Cyy(t)=kjhh(t)

·   proc. armonico: X(t)=Acos(2pf0t+q) con q uniforme in [0,2p] con A e q indipendenti; č SSL.

·   proc. di poisson: (pag 290)

·   segnale telegrafico: X(t)=1 se in (0,t) cadono 2n punti e -1 se cadono 2n+1 punti distribuiti secondo Poisson di parametro l=intensitą dei punti.

·   onda pam non stazionaria

-TRANSITO DEI PROCESSI ALEATORI NEI SISTEMI T[x(t,xi)]=y(t,xi)

·   Sistemi (lineari e non) istantanei: Y(t)=g[X(t)] (per le v.al. era h=g(x)), per l'istantaneitą del sistema, si puņ calcolare fY(y,t) in funz.di fX(x,t) analogamente alle v.al. (vedi composizione), my(t)=E[Y(t)]=E= =ņg(x)fX(x,t)dx, Ryy(t1,t2)=E[Y(t1)Y(t2)]=E[g[X(t1)]g[X(t2)]]=ņņg(x1)g(x2)fX1X2(x1,x2,t1,t2)dx1dx2, X(t) SSS di ordine n Ž Y(t) č SSS dello stesso ordine, mentre X(t) SSL Ž Y(t) SSL, esempio del quadratore.

·   Sistemi lineari e permanenti: Y(t)=X(t)*h(t) (operano solo sulla t quindi le v.al.sono come dei coefficienti) X(t) gaussiano Ž Y(t) gaussiano, my(t)=mx(t)*h(t)=g[mx(t)] se SSL Ž my=mxH(0), Rxy(t1,t2)=Rxx(t1,t2)*h(t2) (=g[Rxx] considerando come variabile t2), Ryy(t1,t2)=Rxx(t1,t2)*h(t1)*h(t2), se X(t) č SSL, nel caso complesso, si ha Rxy(t)=Rxx(t)*h*(t) e Ryy(t)=Rxx(t)*h(t)*h*(-t) Ž Y(t) č SSL e X(t) e Y(t) sono congiuntamente SSL, (si ragiona analogam. per Cyy).

-SPETTRO DI UN PROCESSO SSL :

·   Scxx(f)=F[Cxx(t)] (spettro di densitą di covarianza)

·   Sxx(f)=F[Rxx(t)]=F[Cxx(t)+mx2]=Scxx(f)+mx2d(f) (=PX(f) spettro di densitą di potenza), (1) Sxx(f)³0, (2) Sxx(f) č reale perché Rxx(t)=R*xx(-t), (3) ņP(f)df=Rxx(0)=Px=E[X2(t)].

·   Sxy(f)=Sx(f)H*(f), Sy(f)=Sx(f)|H(f)|2 Ž Py=Ryy(0)=ņSx(f)|H(f)|2df.

-PROCESSI CICLOSTAZIONARI: def CSSS: fX1..Xn(x1.xn,t1.tn)=fX1..Xn(x1.xn,t1+kT,.,tn+kT), def CSSL: mx(t)=mx(t+kT) e Rxx(t1,t2)=Rxx(t1+kT,t2+kT), teorema 1 (Y(t)=X(t-q)): CSSSŽSSS e CSSLŽSSL (applicazione al proc. armonico e all'onda p.a.m.)

-PROCESSI ERGODICI IN MEDIA: medie delle f. membro m(k)=m(i)=mx(t)=mx

·   I cond.nec.e suff.

·   II cond.suff. ņ|Cxx(t)|dt<+

·   III cond.suff.

·   teorema di slutsky

-PROCESSI ERGODICI IN CORRELAZIONE: le ri(t) sono tutte uguali a Rxx(t)

-PROCESSI ERGODICI IN DISTRIBUZIONE:



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