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Serie di Fourier

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Serie di Fourier

Serie di Fourier :

Se f(x) è una funzione continua a tratti nell'intervallo [0,2p] e pensata ripetuta periodicamente la si può rappresentare tramite la serie di Fourier:

Per il teorema dell'espressione dei coefficienti si ha:

                              

1) Scrivere la serie di Fourier per la funzione periodica di periodo 2p, che nel tratto [-p,p] è                          definita da :

 

  

   

    

    Essendo f(x) una funzione pari, la serie di Fourier relativa ad essa risulterà costituita da soli            coseni.

 

Essendo la funzione derivabile in tutti i punti dell'intervallo, si ha sempre la convergenza ad f(x).
2)    Scrivere la serie di Fourier per la funzione:

       



3)  Si scriva la serie di Fourier relativa alla funzione di periodo 2p, così definita e se ne calcoli la somma per x=0 e per x=p.

La funzione è dispari quindi la serie di Fourier risulterà costituita da soli seni:


La serie, limitatamente all'intervallo [-p,p], converge ad f(x), ed ha come somma per x=0 il valore 0 , e nel punto x=p ancora il valore 0.
4)    Si scriva la serie di Fourier relativa alla funzione di periodo 2p, così definita:

La funzione è pari, quindi la serie di Fourier ad essa relativa avrà solo coseni:

La serie, limitatamente all'intervallo [-p,p] converge ad f(x).
5)  

 


La funzione , non essendo

nè pari nè dispari, si scriverà come

serie di Fourier avente sia seni

che coseni. Dunque la serie

si scriverà sotto la forma

La serie può essere dunque scritta come:

La serie converge per qualunque valore di x, perché la  è derivabile in tutti i punti di continuità, e nei punti  che sono singolari, ha derivata a destra e a sinistra .

Converge ad  nei punti di continuità ossia nell'intervallo

mentre converge a  nei punti ; converge a 0 nel punto


       Serie di Taylor :

1)   Dare una stima del numero "e" con otto cifre decimali esatte

2)    Scrivere lo sviluppo in serie di MacLaurin per la funzione 

 
3)   Fornire una stima di sen0.5 con un errore non superiore ad un millesimo

Per  dare  una  stima  di  questo  numero  posso  usufruire  dello  sviluppo  della  funzione  seno 

in serie  di  MacLaurin  calcolata  in  x=0,5

sen x=

Scrivendo   il  resto  2n+1-esimo e  imponendolo  minore  di 0,001  si  ottiene una  valutazione del 

resto  non  superiore  ad  un  millesimo :

si ha  nella  formulazione  di  Lagrange (-1)  trattandosi  di  angoli 

molto  piccoli (si ricordi che  )    la  funzione  coseno è approssimabile    senza  errori

significativi  a  1. Si  conclude  che:

    

4)   Calcolare la derivata ottava nel punto x=0 per la funzione: 

         

 


          Problemi di convergenza di serie :

1)    Studiare  la convergenza puntuale ed uniforme nelle seguenti serie:

        

Si tratta di una serie geometrica di ragione q=

Essa converge se <1;ovvero se:  con la condizione di realtà:

; ; ; ;;

La serie risulta convergente nell'aperto    ;divergente per altri valori di x che rendono reale il logaritmo.

2)   

            

Essendo il limite minore di 1 la serie e' assolutamente convergente in modo indipendente da X; si ha anche convergenza uniforme.



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