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MOTO IN UN CAMPO ELETTROMAGNETICO

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MOTO IN UN CAMPO ELETTROMAGNETICO

L'Hamiltoniana di una particella carica in presenza di un campo elettromagnetico si ottiene  con una semplice regola per cui si sostituisce all'operatore quantità di moto un operatore che è la somma della quantità di moto e del potenziale vettore che definisce il campo elettromagnetico moltiplicato per il rapporto tra la carica della particella e la velocità della luce.

 

Ricapitoliamo prel 939d36j iminarmente le proprietà del potenziale vettore A. Si tratta di un campo vettoriale funzione dello spazio e del tempo il cui rotore è il campo il campo magnetico.

 

La cicuitazione di A lungo una linea chiusa si esprime per un noto teorema del calcolo differenziale come il flusso  del rotore di A uscente da una superficie di cui la linea chiusa è il contorno e quindi come il flusso di B attravero la stessa superficie . 

In base alla regola enunciata l'Hamiltoniana di una particella soggetta all'azione di un campo elettromagnetico si esprimerà come segue.

Nell'equazione di Schrodinger della particella libera l'introduzione del potenziole vettore modifica la fase dell'ampiezza di probabilità associata alla transizione da un punto A ad un punto B rispetto alla soluzione in assenza del potenziale vettore. Tale ampiezza di probabilità condizionata è stata definita in AA come l'ampiezza di probabilità di osservare la particella nell'intorno di xB al tempo tB se la stessa particella è stata osservata nell'intorno di xAal tempo tA.

 

Nella Eq. di Scrodinger di (  ) con il pedice B abbiamo inteso che le derivate spaziali e temporali agiscono su la coordinata di B e sul tempo associato.

Ne consegue che il potenziale vettore modifica il campo di velocità ovvero

Ricordiamo  la legge del moto classica di una particella in presenza di un campo magnetico costante nel tempo

Per un campo magnetico costante B  il potenziale vettore è

 

La proiezione del moto della particella soggetta a tale campo sul piano perpendicolare a B sarà un moto circolare uniforme con velocità 

Almeno in questo caso particolare troviamo accordo tra la legge classica del moto ed il campo di velocità indotto dal potenziale vettore.

La presenza di un campo magnetico modifica pertanto le ampiezze di probabilità di transizione per un fattore di fase.

La rilevanza fisica del potenziale vettore si evidenzia con l'esperienza di Bohm Aharanov  in cui si pone un solenoide sull'asse di un dispositivo di diffrazione di particelle da due fenditure. Se il solenoide non è percorso da corrente si formano le usuali frangie di interferenza su di una lastra posta oltre il solenoide. Per la fisica classica nulla dovrebbe cambiare se si accende la corrente  non essendovi comunque campo magnetico all'esterno del solenoide. Il sistema di frangie invece si modifica come è semplice rendersi conto per le variiazioni di fase che il potenziale vettore induce sulla funzione d'onda delle particelle.

Conviene infine notare come l' analogia del formalismo con quello che descrive particelle neutre in un campo di velocità idrodinamico. Ad esempio  un fluido in equilibrio in un recipiente cilindrico che si muove di moto rotatori uniforme rispetto all'asse nel sistem di riferimento in cui il cilindro è in quiete si sperimentano delle forze inerziali che si ottengono introducendo un  potenziale vettore nella Hamiltoniana con la stessa regola già discussa. Il campo magnetico è sostituito dalla velocità angolare e la caica q=1







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