Propagazione della media e della varianza per trasformazioni tra variabili monodimensionali

tecnica

LEZIONE #5

Propagazione della media e della varianza per trasformazioni tra variabili monodimensionali

Sia Y una variabile statistica ottenuta a partire dalla variabile X, attraverso la trasformazione:

Y=g(X)

Applicando il teorema della media, possiamo calcolare la media e la varianza della variabile Y senza per questo dover valutare la sua distribuzione di frequenza, infatti

il che implica comunque di dover calcolare le sommatorie rispetto alla distribuzione della X.

Supponiamo ora che la trasformazione g sia lineare

per le proprieta' di linearita' dell'operatore media, possiamo ricavare direttamente (senza fare alcuna sommatoria) la media di Y a partire dalla media di X, infatti

In maniera del tutto analoga e' possibile ricavare direttamente la varianza di Y a partire dalla varianza di X, infatti:

Le formule ricavate sono dette di propagazione della media e della varianza.

Nel caso in cui la trasformazione g non sia lineare, e' possibile linearizzarla intorno al valore della media di X, applicare il teorema della media alla trasformazione linearizzata e ottenere delle formule di propagazione approssimate.

Il livello di approssimazione di tali formule dipendera' da quello con cui la trasformazione linearizzata approssima quella non lineare. L'errore sara' contenuto se:

la trasformazione nell'intorno della media e' sufficientemente regolare

la frequenza della variabile X e' concentrata in tale intorno.

La regolarita' implica che la retta tangente si discosti poco dalla curva g(x,y) nell'intorno della media, intorno nel quale l'errore commesso nel sostituire alla g la tangente e' moltiplicato pre frequenze elevate; al di fuori di tale intorno l'errore maggiore viene  moltiplicato per frequenze trascurabili

Posto dunque, in maniera approssimata

Si ricava