1. Scrivere il modello funzionale dei minimi quadrati (d_ij = Q_j  - Q_i).

2. Indicare la matrice disegno A, la matrice normale N, il termine noto normale A⁺d^(o).

3. Dare la stima ai minimi quadrati dei parametri Q₂ e Q₃ (),

4. Calcolare il vettore degli scarti stimati .

5. Dare la stima  di

6. Calcolare la matrice di varianza covarianza dei parametri stimati .

Esercizio 4

Della seguente rete di livellazione si misurano i dislivelli d₁₂ d₂₃ d_34. I valori osservati sono:

d₁₂^(o) = 15.525 m

d₂₃^(o) = 13.503 m

d₃₁^(o) = -29.030 m

Sapendo che d_ij = Q_j - Q_i , che la quota del punto 1 e' nota e pari a 100 m, e che le misure sono state effettuate in maniera indipendente e con egual precisione:

- indicare la matrice disegno A, la matrice normale N, il termine noto normale A⁺d^(o).

- dare la stima ai minimi quadrati dei parametri Q₂ e Q_3.

- calcolare il vettore degli scarti stimati .

- dare la stima  di

- calcolare la matrice di covarianza dei parametri stimati.

Esercizio 2

Una grandezza y viene misurata 5 volte in maniera indipendente. La prima delle misure e' effettuata con un una varianza pari a 1 e le ultime quattro con varianza pari a 0.25.

Si determini la stima ai minimi quadrati della media di y e la sua precisione.

I valori osservati sono:

y₁^(o)=

y₂^(o)=

y₃^(o)=

y₄^(o)=

y₅^(o)=

1. Scrivere il modello funzionale dei minimi quadrati (y_i =x).

2. Indicare la matrice disegno A, la matrice normale N, il termine noto normale A⁺y^(o).

3. Dare la stima ai minimi quadrati del parametro x,

4. Calcolare il vettore degli scarti stimati .

5. Dare la stima  di

6. Calcolare la varianza del parametro  stimato .

Esercizio 3

Della variabile doppia dell'esercizio 3 della parte 1 si stimi il coefficiente di correlazione lineare r

a)  Quali valori puo' assumere tale coefficiente?

b)  Che cosa indica r

Esercizio 5

Per valutare la pendenza media p di un condotto idrico, si misurano le altezze h_i dello stesso a diverse distanze x_i da un origine o, come indicato nello schema seguente:

h₁ h₂ h₃

o x₁ x₂ x₃

Sapendo che le misure h_oi  sono state effettuate in maniera indipendente e con egual precisione e che

x_i p = h_i

con x_i  noto esattamente:

. Indicare la matrice disegno A, la matrice normale N, il termine noto normale (A⁺Q^_1h_oi).

Dare la stima ai minimi quadrati del parametro p,

Calcolare il vettore degli scarti stimati .

Dare la stima  di

Calcolare la varianza del parametro stimato .

Esercizio 6

Che cos'e' un campione bernoulliano x₁, x₂, ., x_n della variabile casuale X?

Esercizio 3A

Il punto C in figura ha coordinata x_c= 1 e coordinata y_C incognita. Per determinare l'ordinata incognita di C, si misurano le distanze d_AC e d_BC i cui valori sono riportati in tabella, rispettivamente dai  punti di coordinate note A=(0,0) e B=(1,0). Sapendo che le osservazioni sono state eseguite in maniera indipendente e con egual precisione, si dia una stima ai minimi quadrati di y_c e della sua varianza (valore approssimato di y_c=1).

Esercizio 4

Un osservatorio registra l'andamento del livello di un bacino artificiale nel tempo. A partire dalle osservazioni del livello riportate in tabella, e sapendo che le osservazioni sono state eseguite in maniera indipendente e con egual precisione, si dia la stima ai minimi quadrati dei parametri a e b della retta di regressione y=a+bt e la loro precisione.

Esercizio 2

Tra i punti 1, 2 e 3 in figura si misurano i dislivelli d₁₂, d₂₃ e d₃₁ ( d_ij = Q_j - Q_i ), ottenendo i seguenti valori d^o₁₂ = 10.0008 d^o₂₃ = 5.0045 d^o₃₁ = -15.0091. Sapendo che le misure sono indipendenti e di egual precisione e che la quota del punto 1 e' nota e pari a Q₁ = 0.0 m , dare la stima ai minimi quadrati delle quote dei punti 2 e 3 e la loro precisione.

Esercizio 4

Una stessa grandezza viene misurata 3 volte in maniera indipendente e con egual precisione, ottenendo i seguenti risultati:

y^o₁ =25.003 m  y^o₂ =25.001 m y ^o₃ = 24.998 m

Si dia una stima ai minimi quadrati della media di tale grandezza e del suo sqm.

Si dia una rappresentazione grafica del problema di stima (il punto osservato, la retta cui appartiene la media e la posizione della media stimata).

Esercizio 4

Allo scopo di determinare l'ordinata del punto C in figura, si misurano in maniera indipendente e con egual precisione le distanze d_AC = 0.708 e d_BC = 0.705, rispettivamente di C dal punto A e di C dal punto B. Sapendo che le coordinate dei punti noti  sono: A = (0.000,0.000), B = (1.000,0.000), C = (0.500, ?) e che il valore approssimato dell'ordinata incognita e' 0.500, determinare la stima ai minimi quadrati di tale ordinata e la sua precisione.

Esercizio 4A

Le grandezze v e w sono state misurate ciascuna 2 volte in maniera indipendente e con egual precisione. I valori osservati sono:

v_o1 = 10.001 m,    v_o2 = 9.997 m, w_o1 = 5.001 m, w_o2 = 4.998 m.

Determinare, applicando il principio dei minimi quadrati, il valore medio di v e w e la loro matrice di varianza-covarianza.

Esercizio 4

Allo scopo di determinare la quota dei punti A e B si misurano in maniera indipendente e con egual precisione i dislivelli d_AB, d_BC d_CA in figura, con C vertice di quota nota pari a Q_C = 100m. I dislivelli osservati sono pari a:

d^o_AB = -5.001 m , d^o_BC = -5.002 m, d^o_CA = 9.997 m.

Calcolare la stima ai minimi quadrati delle quote Q_A e Q_B e la loro matrice di varianza covarianza.

Esercizio 4

Determinare la media e la varianza di una grandezza Y, misurata 3 volte in maniera indipendente,  ma con precisione diversa, utilizzando il principio dei minimi quadrati.

I valori osservati, con relativo sqm, sono:

y_o1 = 10.001 ± 0.001 m, y_o2 = 10.003 ± 0.002 m, y _o3 = 10.006 ± 0.003 m

Esercizio 4

Determinare la stima ai minimi quadrati dei parametri della retta y = at + b  che interpola le osservazioni:

y_o1= a t₁ + b + n

y_o2 = a t₂ + b + n 3.999

y_o3 = a t₃ + b + n

con

t₁ = 1, t₂ = 2, t₃ = 3.

Si suppongano le osservazioni indipendenti e di egual precisione.

Si ricavi inoltre la precisione dei parametri stimati.

Esercizio 4

Allo scopo di determinare la coordinata x_P de punto P, si misurano, in maniera indipendente e con egual precisione, le distanze d_A, d_B, d_C dai punti A(0,1) , B(0,0) e C(3,0) in figura, ottenendo i seguenti valori: d_Ao=1.002, d_Bo=1.415, d_Ao=2.237. Stimare, ai minimi quadrati, la coordinata incognita x e il suo sqm, a partire dal valore approssimato  e sapendo che y_P=1.