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Teoria e applicazione Circonferenza

matematica


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 Teoria e applicazione Circonferenza

Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro

Il suo raggio è il segmento che ha per estremi il centro della circonferenza e un punto qualsiasi della circonferenza.

Equazione della circonferenza

1       CON CENTRO NELL'ORIGINE

=r

ELEVO

(X-0)2+(Y-0) 2=r2                (X)2+(Y) 2=r2



2       CON CENTRO NON NELL'ORIGINE

=r      (q = centro della circonferenza)

ELEVO

(X- Xq)2+(Y-Xq) 2=r2

3       Dimostrazione equazione generale della retta

(X- Xq)2+(Y-Xq) 2=r2

X2+ Y2-(2XqX) -(2YqY) +(Xq) +(Yq) 2 -r 2 =0

 Se pongo

a = -2Xq                    Xq=           

     b = -2Yq                    Yq=

     c = (Xq) 2+(Yq) 2-r 2                             r=

Diventa quindi :

X2+Y2+aX+bY+c=0  EQUAZIONE GENERALE CIRCONFERENZA

Condizioni perché esista l'equazione

1.    Devono essere presenti sempre i termini X2+ Y2

2.    Non devono esserci termini rettangolari es.XY

3.    (Xq) +(Yq) 2 -r 2>0 affinché il raggio esista

4       un punto appartiene a un a una circonferenza se sostituendo le coordinate del punto nell'equazione della circonferenza ottengo un'identità.

Circonferenza  passante per tre punti A(X1;Y1); B(X 2;Y 2);C(X 3;Y 3)

                  

                   X2+Y2+aX 1+bY 1+c=0 

Sistema:     X2+Y2+aX 2+bY 2+c=0 

                   X2+Y2+aX 3+bY 3+c=0 

 

                                     Trovo a, b, c che sostituisco nell'equazione

                                                  X2+Y2+aX+bY+c=0 

POSIZIONE RECIPROCA RETTA TANGENTE-CIRCOFERENZA

                   γ: X2+Y2+aX+bY+c=0    

Sistema

                   s: Y=mX+q

                               

             Che risolta dà i valori di x che possono essere

2 DELTA >0  SECANTI

1 DELTA =0  TANGENTI

0 DELTA <0  ESTERNE

Circonferenza in posizioni particolari

Se nell'equazione generale:  x+y2+ax+bx+c=0

1.    a=0         Centro appartiene all'asse y

2.    b=0         Centro appartiene all'asse x

3.    c=0          Circonferenza passante per l'origine

4.    a=0 & c=0         Centro appartiene all'asse y &Circonferenza passante per l'origine

5.    b=0 & c=0         Centro appartiene all'asse x &Circonferenza passante per l'origine

6.    a=0 & b=0         Centro appartiene all'asse y & Centro appartiene all'asse x




CONDIZIONI DI TANGENZA di due rette che passano da un punto

Per trovare e rispettive equazioni :

Due metodi:

A)

1.    Trovo l'equazione della circonferenza

2.    Trovo l'equazione del fascio proprio di rette per il punto P

(Y-Y0)=m(X-X0)

3.    Le metto a sistema.

4.    Trovo l'equazione risolvente del tipo:  X2 +m2X2+nX-2mX+c=0  Dove n e c corrispondono a dei  valori trovati dalla risoluzione del sistema.

5.    Raccogliendo X e X2 trovo un'equazione di secondo grado  di cui pongo il delta  uguale a 0

X2 (1+m2)+X(n-2m)+c=0 

Δ=0= (n-2m) 2 -4((1+m2)*c)

6.    I valori di m trovati  che soddisfano l'uguaglianza DELTA=0 si sostituiscono nell'equazione  del fascio.

B)

1. Trovo il centro della circonferenza

2. Trovo l'equazione del fascio proprio di rette per il punto P

3. Trasformo l'equazione del fascio in forma implicita

4. Trovo la distanza tra il fascio e il centro della circonferenza

5. Sostituisco nell'equazione      

che pongo uguale al raggio e da cui ricavo i valori di m.

6. I valori di  m trovati si sostituiscono nell'equazione del fascio.

FACOLTATIVO

5        Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza

Per verificare che  tre punti non sono allineati  la seguente diseguaglianza deve essere verificata .    

6        Inoltre per trovare l'equazione di una circonferenza per tre punti secondo metodo

1.   Trovare le equazioni degli assi dei segmenti AB e AC

2.   Determinare l'intersezione che il centro della circonferenza Q

3.   Determinare la distanza tra A e Q

4.   Scrivere l'equazione della circonferenza di centro Q e raggio AQ

 








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