La probabilità (p) di estrarre da N uno studente residente è quindi e la probabilità (q) di estrarre uno studente non residente è . Essendo e sarà p+q=1 in quanto . Ne consegue che essendo p+q=1 sarà q=1-p.

Il fatto che p+q=1 sta ad indicare che se dagli N studenti se ne estrae uno, esso sarà certamente o della categoria A (in sede) o della categoria B (fuori sede o pendolare

Si supponga ora che l’universo degli studenti che hanno frequentato sia composto da 50 individui di cui 25 della categoria A e 25 di quella B e si voglia estrarre un gruppo di 5 studenti reinserendo dopo ogni estrazione l’unità estratta. Ciò comporta che sia la numerosità dell’universo sia la sua composizione secondo le due categorie A e B non si modificheranno nel corso dell’estrazione dei 5 studenti che formeranno il gruppo che si vuole esaminare, per cui la probabilità di estrarre ad ogni estrazione uno studente appartenente alla categoria A sarà e quella di estrarre uno studente appartenete alla categoria B .

È del tutto evidente che seguendo un tale modo di procedere:

a. il numero totale di gruppi che potranno essere estratti sarà pari a Fra questi 32 gruppi, essendo state estratte le singole unità una alla volta e quindi reinserite prima di procedere all’estrazione successiva, è chiaro che vi saranno gruppi composti dagli stessi studenti, ancorché estratti secondo differenti sequenze di estrazione.

b. . I 32 gruppi formeranno 6 insiemi ciascuno dei quali sarà composto da 0 studenti di tipo A e 5 di tipo B, da 1 studente di tipo A e 4 di tipo B, da 2 studenti di tipo A 313f52d e 3 di tipo B, e cosi via fino a 5 studenti di tipo A e 0 di tipo B. Da ciò discende che i cinque studenti estratti, qualunque essi siano, apparteranno certamente a uno di questi possibili gruppi.

La distribuzione della frequenza dei 6 gruppi possibili, ciascuno composto da 5 studenti secondo il numero di quelli appartenenti alla categoria A e alla categoria B, sarà data da:

1° gruppo: 0 studenti di tipo A e 5 di tipo B =

2° gruppo: 1 studenti di tipo A e 4 di tipo B =

3° gruppo: 2 studenti di tipo A e 3 di tipo B =

4° gruppo: 3 studenti di tipo A e 2 di tipo B =

5° gruppo: 4 studenti di tipo A e 1 di tipo B =

6° gruppo: 5 studenti di tipo A e 0 di tipo B =

Totale dei possibili gruppi    32

Da questa distribuzione si evince, ad esempio, che l’evento 2 studenti di tipo A 313f52d e 3 di tipo B può realizzarsi in 10 modi diversi, mentre l’evento che prevede che tutti e cinque gli studenti appartengano al tipo A può verificarsi in un solo modo. Come si è già avuto occasione di sottolineare si può osservare che il numero di gruppi che si possono realizzare al variare di h, cioè del numero degli studenti di tipo A e quindi di quelli di tipo B, essendo il gruppo composto da un numero dispari di studenti (5), cresce fino ai valori di h 2 e 3 e cioè , per poi decrescere in modo simmetrico.

Volendo ora conoscere quale è la probabilità che si verifichi ciascuno dei 6 possibili gruppi, ricordando quanto già si è avuto modo illustrare a proposito della probabilità composta di eventi indipendenti, facendo variare h da 0 a n questa sarà data da [1].

Essendo come già specificato p+q=1, applicando il teorema della probabilità totale, sarà . In termini probabilistici ciò sta ad indicare, come per altro già sottolineato, che è certo che si verificherà uno dei possibili eventi rappresentando tutto lo spazio campionario (Ω).

La [1] prende il nome di distribuzione binomiale. Essa è una distribuzione teorica, discreta e finita.

È una distribuzione teorica in quanto fornisce quelle che teoricamente sono le probabilità che, dato n, si verifichino le varie possibili combinazioni di n_A e di n_B, è discreta in quanto h può assume solo valori discreti da 0 a n ed è finita essendo n finito.

Tornando al nostro esempio ipotetico in cui p e q sono ambedue uguali a cioè 0,5, la probabilità che hanno le singole , per h che assume i valori 0, 1 2, 3, 4 e 5, saranno date da :

[probabilità che tutti e cinque gli studenti non siano residenti]

[probabilità che si abbia uno studente residente e quattro non residenti]

[probabilità che si abbiano due studenti residenti e tre non residenti]

[probabilità che si abbiano tre studenti residenti e due non residenti]

[probabilità che si abbiano quattro studenti residenti e uno non residente]

[probabilità che tutti e cinque gli studenti siano residenti]

Come la distribuzione di tutti i possibili gruppi (campioni), anche la distribuzione di probabilità ottenuta è una distribuzione simmetrica in quanto, essendo p=q, il prodotto per tutti i gruppi al variare di h sarà sempre uguale a 0,5⁵. In altri termini, per tutti i valori di h da 0 fino a n, sarà sempre , per cui y_h varierà solo al variare del valore di .

Come per qualsiasi distribuzione anche la binomiale ammetterà una media e una varianza. Si dimostra, dimostrazione che stante il livello elementare di queste dispense non si ritiene di dover riportare, che esse sono, rispettivamente, date da:

m = np e s = npq   

In riferimento al nostro esempio il numero medio di studenti residenti fra tutti i possibili gruppi sarebbe quindi di 2,5 (5 x 0,5) e s =5 x 0,5 x 0,5=1,25

La distribuzione binomiale per p=q gode delle seguenti proprietà:

è una distribuzione simmetrica con il massimo, nel caso di n pari, in corrispondenza di , mentre nel caso di n dispari si avranno due massimi in corrispondenza di ;

a partire dal massimo o dai massimi, per i termini simmetrici, y_h assumerà valori identici e decrescenti da entrambe le parti;

il massimo o i massimi (ovviamente per p costante) saranno sempre in corrispondenza dei valori di h indicati al punto 1, ma i valori di y_h decrescono al crescere di n. Si avrà quindi una estensione della distribuzione in cui le y_h, in riferimento ai valori estremi, assumeranno valori sempre più piccoli tendenti cioè a 0. In altri termini se si rappresentano in un diagramma i valori delle y_h si può osservere che al crescere di n esso si spiana avvicinandosi sempre di più all’asse delle x, così come esemplificato nella Fig. 1[2];

Fig. 1 – Alcune distribuzioni binomiali per differenti n e p=q=0,5

Nel caso di p q, i valori delle y_h danno luogo ad una distribuzione asimmetrica il cui grado di asimmetria sarà tanto più accentuato tanto maggiore sarà la diversità di p rispetto a q. Ciò significa che, a parità di n, la forma della distribuzione dipende dai valori di p e di q. Tornando al nostro ipotetico esempio se fra i 50 studenti i residenti fossero 40 (gruppo A) e i non residenti 10 (gruppo B), per cui la nostra distribuzione di probabilità sarebbe data da:

[probabilità che tutti e cinque gli studenti non siano residenti]

[probabilità che si abbia uno studente residente e quattro non residenti]

[probabilità che si abbiano due studenti residenti e tre non residenti]

[probabilità che si abbiano tre studenti residenti e due non residenti]

[probabilità che si abbiano quattro studenti residenti e uno non residente]

[probabilità che tutti e cinque gli studenti siano residenti]

Come appare con tutta evidenza sia dai valori delle y_h sia dalla Fig. 2, la distribuzione si caratterizza per una accentuata asimmetria negativa

Fig. 2 – Distribuzione binomiale per n=5, p=0,8 e q=0,2

Si fa comunque presente che se p q, al crescere di n la distribuzione tende a caratterizzarsi come una distribuzione normale, con media e varianza date sempre dalla . Tale affermazione trova conferma nella Fig. 3 dove sono riportati i valori delle y_h sempre nel caso di p 0,8 e q=0,2, ma per n=35. Dalla Fig. 3, infatti, si può notare che la distribuzione, a differenza del caso in cui n=5, si caratterizza per una asimmetria poco accentuata. In altri termini, tenendo costanti p e q, facendo aumentare n, anche nel caso di p q, la distribuzione tende sempre di più ad essere simmetrica e assimilabile alla distribuzione normale.

Da ciò discende che per n grande, situazione questa in cui sarebbe molto laborioso il calcolo delle y_h, per determinare la probabilità che si verifichino le combinazioni non maggiori di un dato h o quelle relative a h_i+1 ^- h_i si può ricorre alla normale[3].

Per dare concretezza a quanto detto se, ad esempio, si hanno 2000 studenti di cui 600 in possesso della maturità classica e 1400 in possesso di un diverso diploma, per cui , e si estraggono a sorte 300 studenti, sarebbe laborioso determinare la probabilità che si abbiano non meno di 35 studenti con la maturità classica e 265 in possesso di un altro diploma di scuola secondaria. Per la determinazione di tale probabilità si dovrebbe, infatti, calcolare le probabilità per h da 0 a 35, che sarà data da:

Fig. 3

2 - La distribuzione normale o distribuzione degli errori accidentali

Assai spesso osservando le distribuzioni di densità empiriche si può notare, come ad esempio nelle distribuzioni degli individui secondo l’altezza, che i casi estremi sono i più rari, mentre quelli centrali sono i più numerosi. Così se si eseguono numerose misure su di una medesima grandezza, a causa degli errori di natura accidentale che si possono commettere, è del tutto evidente che gli errori più piccoli saranno più frequenti di quelli più grandi. In altri termini si tratta di distribuzioni che partendo da valori piccolissimi o da 0, crescono fino a raggiungere un massimo e quindi diminuiscono fino a valori piccolissimi o a 0. In base a queste osservazioni, che si trovano, come ricorda il Leti, già accennate nel pensiero di alcuni filosofi dell’antica Grecia, prima de Moivre e successivamente, dopo oltre settanta anni, Gauss, che la chiamò, oltre che con il suo nome, curva degli errori accidentali, trovarono la funzione che poteva descrivere questi tipi di distribuzioni. Il nome di curva degli errori accidentali deriva dal fatto che, anche sperimentalmente, si è potuto verificare che le misure ripetute su di una stessa grandezza “si distribuiscono attorno ad un valore in modo che al crescere del valore assoluto dell’errore diminuisce la sua frequenza e che la frequenza di ciascun errore positivo è uguale a quella dell’errore negativo di pari valore assoluto”. Non può quindi che trattarsi di una curva campanulare simmetrica e il cui valore massimo si ha, in corrispondenza dell’errore 0 (cioè delle misure esatte) nell’asse delle x che dovrebbero registrare la massima frequenza.

L’equazione di questa curva è:

   [1]

dove σ e μ, che sono i parametri della funzione, sono rispettivamente lo scostamento quadratico medio e la media aritmetica della distribuzione[5] e e (= 2,718181 . ) è la base dei logaritmi neperiani.

Fig. 4 – La curva normale

Figura ripresa da G. Leti, Statistica descrittiva

Alcune importanti caratteristiche della Curva normale:

l’ascissa del massimo, che coincide con la mediana e la moda, è μ;

essendo la ascissa del massimo uguale a μ per cui per x_i = μ, sarà (x_i – μ)² = 0 e quindi e⁰ = 1, il valore dell’ordinata del punto di massimo sarà uguale a ;

è asintotica all’asse delle x, cioè quanto più ci si allontana dalla media, tanto più la curva si avvicina all’asse delle x; y sarà uguale a 0 solo per x uguale a +∞ e -∞;

le ascisse dei punti di flesso, nei punti cioè in corrispondenza dei quali la curva da concava diventa convessa, sono μ–σ e μ+σ (v. Fig. 4);

è simmetrica rispetto all’ordinata passante per x_i = μ e cioè rispetto alla parallela all’asse y e passante per l’ascissa del punto di massimo (Fig.4). Questo è il motivo per cui necessariamente deve essere Me, = Mo = μ, come indicato al punto 1;

essendo le y_i frequenze relative, l’area racchiusa dalla curva è uguale a 1 (v. numeratore della [1]);

l’area racchiusa dalla curva, dall’asse delle x e dalle due ordinate in corrispondenza di due punti x_i e x_h dà la frequenza relativa dei casi compresi nell’intervallo x_i - _-x_h;

negli intervalli ; e ,, cade rispettivamente il 68,27%, il 95,45% e il 99,73% dei casi (v. Fig.4).

Essendo l’equazione della curva normale definita dai soli due parametri μ e σ, è del tutto evidente che, potendo ognuno di questi parametri assumere infiniti valori, nel piano esisterebbero infinito a due curve normali. Al variare di μ (che rappresenta il parametro di posizione) la curva si sposterà lungo l’asse delle x conservando la stessa forma (Fig.5), mentre al variare di σ (che rappresenta la dispersione) la curva assumerà una forma più appiattita se σ cresce, mentre se σ diminuisce, essa risulterà più ristretta (Fig. 6). Tale evidenza deriva dal fatto che all’interno degli intervalli di cui al punto 8 sopra indicato, dovrà essere sempre compreso lo stesso numero di casi. Se varieranno contemporaneamente sia μ che σ si avrà sia una traslazione sia un cambiamento di forma (Fig. 7).

Fig 5

B

A

μ_A ≠ μ_B e σ_A = σ_B

Fig. 6

A

B

μ_A = μ_{B e} σ_A ≠ σ_B

Fig. 7

A

B

μ_A ≠ μ_B e σ_A ≠ σ_B

Nelle distribuzioni empiriche è pressoché impossibile avere una curva continua. Al massimo essa sarà data da un istogramma con le basi dei singoli rettangoli molto piccole (ad esempio la rappresentazione grafica delle altezze rappresentate non per centimetri, ma per millimetri). È comunque immaginabile, aumentando ovviamente il numero dei casi osservati, di ridurre sempre di più l’intervallo x_i-x_i+1,, fino a farlo tendere a 0, per cui tendendo a 0 anche le basi dei rettangoli dell’istogramma, la curva tenderà ad essere continua.

Da quanto detto risulta quindi che la Curva normale è una distribuzione teorica continua e illimitata in quanto copre tutto l’asse reale da +∞ a -∞. Questa ultima caratteristica, che ha senso solo sotto un profilo strettamente teorico, non è rilevante sul piano pratico in quanto, come si è avuto modo di sottolineare, già nell’intervallo μ ± 3σ è contenuto il 99,73% del totale dei casi[6].

Va subito precisato che non tutte le curve che assumono una forma campanulare, sono delle curve normali come quelle ad esempio riportate nelle Figg 8 e 9. Infatti si possono avere curve, che hanno la stessa media e lo stesso scostamento quadratico medio, che sono o più appuntite, dette ipernormali, (Fig. 8) o più appiattite, dette iponormali (Fig. 9).

Fig. 8

-2σ -σ μ +σ +2σ +3σ