Una circonferenza è il

I punti esterni a una circonferenza hanno distanza dal centro maggiore del raggio.

Un cerchio è una figura piana formata dai punti di una circonferenza e da quelli interni a una circonferenza.

Se congiungiamo due punti qualunque A e B di un cerchio, il segmento AB risulta completamente interno al cerchio.

Infatti nel triangolo OAB, scelto C su AB, il segmento OC, interno al triangolo, è minore sia di OA sia di 939d36j OB, quindi è anche minore del raggio.

Pertanto il cerchio è una figura convessa.

Vale il teorema dell'esistenza e dell'unicità della circonferenza per tre punti

Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.

H: A, B, C sono punti non appartenenti a una stessa retta

T: 1) Esiste una circonferenza passante per A, B e C;

2) La circonferenza per A, B e C è unica.

COSTRUZIONE:

a.  Disegnamo tre punti A, B e C non allineati.

b.  Congiungiamo A con B e tracciamo l'asse del segmento AB.

c.  Congiungiamo B con C e tracciamo l'asse del segmento BC. Poiché A, B e C non sono allineati, i due assi si incontrano in un punto, che chiamiamo O.

d.  I segmenti AO, BO e CO sono congruenti per la proprietà dell'asse. Puntiamo il compasso in O con apertura OA e tracciamo la circonferenza.

DIMOSTRAZIONE:

Siano dati tre punti A, B, C non allineati.

Proviamo che esiste ed è unica la circonferenza passante per essi.

Infatti, sia O il punto comune agli assi dei segmenti AB e BC.

Allora il punto O è equidistante dagli estremi dei segmenti considerati perché appartiene ai loro assi; cioè si ha OA = OB = OC, per cui O è il centro di una circonferenza passante per A, B, C.

Tale circonferenza è unica giacché è unico l'asse di un segmento e quindi è unico il punto O comune agli assi di due segmenti dati.

Un arco è la parte di circonferenza compresa fra due suoi punti

I due punti della circonferenza che delimitano l'arco sono gli estremi dell'arco.

Una semicirconferenza è un arco i cui estremi sono distinti e appartengono a un diametro.

La parte di piano compresa fra una semicirconferenza e un diametro si chiama semicerchio

Gli estremi di una corda suddividono la circonferenza in due archi; diremo che la corda sottende i due archi oppure che ogni arco è sotteso dalla corda.

La corda AB sottende due archi, quello disegnato in rosso e quello disegnato in giallo. Per evitare ambiguità, l'arco rosso si può indicare con ABC, quello giallo con ADB.

Un angolo al centro un angolo che ha il vertice al centro della circonferenza

Poiché la circonferenza è una linea chiusa, se congiungiamo un punto interno con un punto esterna ad essa, il segmento ottenuto interseca la circonferenza in un punto.

Pertanto i lati di un angolo al centro intersecano la circonferenza in due punti, che sono gli estremi di un arco. Tale arco è il risultato dell'intersezione fra l'angolo al centro e la circonferenza. Diremo che l'angolo al centro insiste su tale arco.

Se tracciamo due semirette con origine nel centro di una circonferenza, individuiamo due angoli al centro, di cui, in genere, uno è convesso e l'altro è concavo.

a.  L'angolo convesso insiste sull'arco minore della semicirconferenza, mentre l'angolo concavo insiste sull'arco maggiore della circonferenza.

b.  Quando le due semirette appartengono alla stessa retta, gli angoli al centro sono due angoli piatti che insistono ognuno su una semicirconferenza.

c.  Quando le due semirette coincidono, gli angoli al centro sono l'angolo nullo e l'angolo giro. L'angolo nullo insiste su un arco i cui estremi coincidono; l'angolo giro insiste su un arco che è tutta la circonferenza.

Una retta si dice esterna a una circonferenza quando non ha punti in comune con la circonferenza

Una retta tangente a una circonferenza se ha un solo punto in comune con la circonferenza

Il punto comune a retta e circonferenza tangenti è detto punto di contatto o di tangenza

Una retta secante una circonferenza quando ha due punti in comune con la circonferenza

Si possono dimostrare tre teoremi, che riassumiamo nel seguente enunciato.

Se la distanza di una retta dal centro di una circonferenza è:
  - maggiore del raggio, allora la retta è esterna;

uguale al raggio, allora la retta è tangente;

minore del raggio, allora la retta è secante.

a.  Retta esterna.

Se OH > r anche OA > r , perché l'ipotenusa del triangolo rettangolo OHA.

La retta non ha punti in comune con la circonferenza.

b.  Retta tangente.

Se OH = r, allora OA > r.

La retta ha in comune con la circonferenza solo il punto H.

c.  Retta secante.

Prendiamo HE = r; allora OE > r, quindi E è esterno. Essendo H interno, fra H ed E, sulla retta, c'è un punto B sulla circonferenza.

d.  Analogamente, da parte opposta, se E'H = r, c'è un punto A in cui a interseca la circonferenza. Se la retta è secante i punti d'intersezione sono due.

I tre teoremi ammettono anche i teoremi inversi, che sono tutti dimostrabili per assurdo.

Per esempio, se una retta è tangente a una circonferenza, la sua distanza dal centro è uguale al raggio.

Da questo teorema inverso deriva la seguente proprietà.

Corollario. Se una retta è tangente a una circonferenza, allora è perpendicolare al raggio che ha un estremo nel punto di tangenza.

Poiché la perpendicolare a una retta passante per un punto è unica, anche la retta tangente in un punto è sola.

Un settore circolare è la parte di cerchio compresa fra un arco e i raggi che hanno un estremo negli estremi dell'arco

Possiamo definire il settore circolare anche come intersezione di un cerchio e di un suo angolo al centro.

La parte di cerchio compresa fra un arco e la corda  che lo sottende viene chiamata segmento circolare a una base

Un segmento circolare a due basi è la parte di cerchio compresa fra due corde parallele e i due archi che hanno per estremi quelli delle due corde. Esso è l'intersezione fra un cerchio e un astriscia.

Dati una circonferenza e un suo arco ABC, risultano determinati senza ambiguità anche l'angolo al centro AOB che contiene C, il settore circolare AOBC e il segmento circolare ABC di base AB.

Più in generale, ognuna delle figure precedenti determina univocamente le altre. Diciamo che l'arco, l'angolo al centro, il settore circolare e il segmento circolare così individuati sono fra loro corrispondenti

Data una circonferenza, se si verifica una delle seguenti congruenze:

fra due angoli al centro,

fra due archi,

fra due settori circolari,

fra due segmenti circolari,

allora sono congruenti anche le restanti figure corrispondenti a quelle considerate.