TEOREMA DI ROLLE

matematica

TEOREMA DI ROLLE

Hp: f : [a;b],continua [a;b],derivabile (a;b)

Th: x₀ in (a;b)/f'(x₀)=0

Dim: per Weierstrass E min e M 252h74c AX di f in [a;b]

I^o CASO se un solo min e un solo MAX e sono assunti

 agli estremi dell'intervallo [a;b],allora,per esempio

f(a)=min ; f(b)=MAX ; min=f(a)=f(b)=MAX ,cioè

 min=MAX=c , allora "x [a;b]  c.m=f(x).M=c

 cioè f(x)=c A x [a;b] ,ovvero f(x) è una retta orizzontale

 e quindi f'(x)=0 " x (a;b)

II^o CASO almeno uno tra min e MAX viene assunto in

 corrispondenza di un punto interno da [a;b]

 sia per esempio x₀ un punto interno ad (a;b) /f(x₀)=MAX

 e per Hp f è derivabile in x₀ dunque f'(x₀)=0