TEOREMA DI LAGRANGE

matematica

TEOREMA DI LAGRANGE

Hp: f:[a;b],continua [a;b].derivabile (a;b)

Th: un x₀ in (a;b)/f'(x₀)=f(b)-f(a)

545e45f 545e45f    b-a

Dim: si definisce a partire da f una nuova funzione

F(x) : [a;b]  " x in [a;b]

F(x)=f(x)-f(b)-f(a) (x-a) ; F'(x)=f'(x)-f(b)-f(a)

545e45f b-a 545e45f    b-a

F(a)=f(a) ; F(b)=f(b)-f(b)-f(a) (b-a)=f(a)

545e45f   b-a

allora F(x) è continua in [a;b] e derivabile in (a;b)

poiché lo è f e F è differenza di f  e -f(b)-f(a) (x-a)

545e45f 545e45f 545e45f b-a

che è una retta e quindi continua e derivabile ovunque

In più F(a)=F(b),dunque si applica ROLLE a F(x),

quindi x₀ in (a;b)/F'(x)=0

ma 0=F'(x₀)=f(x₀)-f(b)-f(a)

545e45f b-a

dunque f(x₀)=f(b)-f(a)

545e45f   b-a