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Soluzione con i quattro metodi dei sistemi lineari di due equazioni in due incognite

matematica


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Soluzione con i quattro metodi dei sistemi lineari di due equazioni in due incognite.



Quattro metodi:

  • SOSTITUZIONE
  • CONFRONTO
  • RIDUZIONE
  • CRAMER


METODO DI SOSTITUZIONE





si risolve una delle equazioni rispetto a una delle inc 858d32i ognite, ad esempio rispetto alla x;

si sostituisce l'espressione trovata nell'altra equazione e la si risolve, trovando il valore della y;

si sostituisce il valore della y nell'espressione della x e si procede alla soluzione.




x + y = 5 x = - y +5


x - y = - 1



x = - y + 5

- y +5 - y = - 1 - 2 y = - 6 2 y = 6 y = 3

2 2


y = 3


x = - 3 + 5 x = 2



y = 3


x = 2





P (2 ; 3)







METODO DI CONFRONTO


si ricava la stessa incognita in entrambe le equazioni;

si uguagliano le due espressioni ottenute e si risolve, ottenendo il valore di una incognita;

si sostituisce il valore trovato in una delle equazioni iniziali, ottenendo il valore dell'altra incognita e si procede alla soluzione.



x + y = 5 x = - y + 5


x - y = - 1 x = y - 1



- y - y = - 5 - 1

- 2 y = - 6

2 y = 6

2 2

y = 3

 


- y +5 = y - 1



x = y - 1



y = 3


x = 3 - 1 x = 2



y = 3


x = 2




P (2 ; 3)





















METODO DI RIDUZIONE


moltiplicare una o entrambe le equazioni per fattori non nulli, in modo che i coefficienti di una delle variabili risultino uguali od opposti;

sommare membro a membro in modo da ottenere una equazione a un incognita e risolverla;

3a sostituire il valore dell'incognita trovata in una delle due equazioni iniziali e

risolvere l'equazione.  


oppure

3b ripetere i passi 1, 2 per determinare l'altra incognita





-3 x + 3y = -1 - 3x - 9y = 3


3x - 2y = 10 +3x - 2y = 10


∕ - 11y = 13

- 11y - 11


y = 13

-

11

13

y = -

11 13 26

3x - 2y = 10 3x - 2(- ) = 10 3x + = 10 33x + 26 = 110

11 11


28

33x = 84

33 11


28

x =

11



28 13

P ( ; - )

11 11












METODO DI CRAMER


D = determinante


3x - y = 1



2x + 3y = 8




- 1

D =     = 9 - (- 2) 9 +2 = 11

3





vanno incolonnate vanno incolonnate

le x le y






Dx =                                   = 3 - (- 8) 3 + 8 = 11




vanno incolonnati vanno incolonnate

i termini noti le x




1


Dy = = 24 - 2 = 22

2 8




vanno incolonnate vanno incolonnati

le x i termini noti



Dx 11

x =                = = 1

D 11



Dy 22

y = = = 2

D              11



P ( 1 ; 2 )







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