TRACCIA DI LAVORO SUGLI INTEGRALI - INTEGRALI DEFINITI

2) Problema della PRIMITIVA

data f: → R , trovare F: → R derivabile con F ' = f

3) Come collegare 1) e 2) ?

Con il 1° Teorema fondamentale del calcolo

f: [a, b] → R

1° teorema

f continua → → F è derivabile e F ' = f .

(le continue ammettono

primitiva e le costruisco)

4) Il 2° Teorema fondamentale del calcolo mi aiuta a descrivere in maniera più precisa l'insieme delle

PRIMITIVE di una funzione continua f: [a, b] → R

Mi dice che differiscono tutte a meno di una costante.

CASO GENERALE

f: [a, b] → R limitata

SUDDIVISIONE

a = a₀ < a₁ < .....< a _n = b

I ₁ (f ) = SOMMA INTEGRALE INFERIORE =

I ₂ (f ) = SOMMA INTEGRALE SUPERIORE =

Passando al sup di I ₁ (f ) sulle suddivisioni → INTEGRALE INFERIORE di f .

Passando all'inf di I ₂ (f ) sulle suddivisioni → INTEGRALE SUPERIORE di f .

Se COINCIDONO → f è INTEGRABILE secondo RIEMANN

= integrale superiore = integrale inferiore

INTEGRALI DEFINITI

f ( x ) continua in [a, b] e ivi positiva.

h _i ampiezza degli intervalli

m _i valori minimi di f ( x _i )

M _i valori massimi di f ( x _i )

< Area trapezoide <

Rimpiccioliamo indefinitamente l'ampiezza degli intervalli

Definizione

dove dx è l'ampiezza h _i che nel passaggio al limite è divenuta infinitesima.

PROPRIETA'

per definizione ;

per definizione ;

;

.

INTEGRALI INDEFINITI

L'operazione di integrazione viene introdotta come inversa.

Se g (x) è una funzione tale che g '(x) = f (x)

allora g (x) si dice PRIMITIVA di f (x) .

La totalità delle primitive si dice INTEGRALE INDEFINITO.

  e

Sono integrabili le funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato ed anche le funzioni limitate e generalmente continue (cioè che hanno al più un numero finito di punti di discontinuità).

(ESERCIZI)

OSSERVAZIONI

f: [a, b] → R

se f è integrabile

F è continua

□ se f: [a, b] → R è continua F è derivabile con F ' = f (1° Teorema del CALCOLO)

[ OSS.: se f non è continua ma ha, ad esempio, una discontinuità eliminabile,

F è derivabile, ma F ' f ]

2° Teorema fondamentale del CALCOLO

Hp: f continua in I

Tesi:

con il teorema di Lagrange

  F (a) = ?

F (a) = 0

se G è una primitiva di f

F₁ , F₂ primitive di f

G (x) = F₁ (x) - F₂ (x)

G ' (x) = F₁' (x) - F₂' (x) = f (x) - f (x) = 0

Teorema. Se G è derivabile su I e G ' = 0 su I

allora G = costante

DIFFERENZIALE

f (x+h) = f (x) + f '(x) ∙ h

|

g(h)

g(h) = g(0) + f '(x) ∙ h

| |

q m

f Rⁿ R ( n = 3 f (x, y, z) = xy + z² )

derivata lungo v

Problemi sulla composizione e sulla continuità

c'è bisogno di un'altra nozione

Differenziabilità derivata in tutte le direzioni + una condizione di limite

Differenziali di f in x df(x)

Se n = 1 df (x): R R

f ' (x) determina completamente df (x)

ma c'è bisogno di una sovrastruttura

OSS.: 

una primitiva di è

g (t) = t²

f (x) → F (x) primitiva di f (x)

    → G (t) primitiva di g (t)

verifico

x = sen t

f : I → R F primitiva di f su I

: J → I biiettiva e derivabile con φ' ≠ 0 φ ^{- 1}: I → J

g (t) : J → R G : J → R primitiva di g su J

I → R

   

-1 ≤ x ≤ 1

sen :     biiettiva e derivabile

d f (x) = f '(x) dx

può essere utile per tenere a mente che

g(t) non è semplicemente ma è

N.B.: la funzione deve essere biiettiva, altrimenti spezzo gli intervalli

(f g) ' = f 'g + f g '   Una primitiva di f 'g + f g ' è f g

Una primitiva di f g ' è f g - primitiva di f 'g

per h piccolo

x = sen t

dx = cos t dt

(f ∙ g) ' = f 'g + f g'

PROPRIETA' DEGLI INTEGRALI

□   □

□ □

□

Area di un DOMINIO NORMALE rispetto all'asse delle x

Teorema della MEDIA

    con dove m < λ< M

Integrale applicato al calcolo dei VOLUMI

rotazione di 2 π

ROTAZIONE attorno all'asse delle Y (di 2 π)

y = f (x)   x = f ^-1(y) dy = f ' (x)dx

ROTAZIONE di un ANGOLO α in generale 

SOSTITUZIONE della VARIABILE d'INTEGRAZIONE

    se x = t

| |

dx dt

OSSERVAZIONE sugli INTEGRALI INDEFINITI

→ ? errata

R R  per x > 0 log x + c₁

per x < 0 log (-x) + c₂ c₁ e c₂ possono essere diversi