Le coppie (x,y) dei dati relativi si rappresentano graficamente sul piano cartesiano. Il grafico ottenuto è detto diagramma a dispersione. Con il metodo dei minimi quadrati si presentano due problemi:

1. scegliere la funzione lineare, quadratica, esponenziale che si ritiene più adatta ad esprime la relazione fra X e Y
2. determinare i parametri della f 333d32d unzione, che soddisfi una condizione di accostamento prefissata

La condizione di accostamento consiste nel determinare i valori dei parametri in modo che sia minima la somma dei quadrati delle differenze fra i valori osservati e i valori teorici. La funzione è una somma di quadrati e pertanto la soluzione non può essere un massimo e non può mai essere negativa. Per avere un buon accostamento non devono superare il valore 0,1 ovviamente tanto più piccoli sono i valori di I e I tanto migliore è l'accostamento.

Se lo scopo della ricerca di funzione è quello di avere un modello matematico del fenomeno, è stato introdotto un indice detto coefficiente di determinazione che tiene conto degli scarti dei valori delle yi. Fra i due indice (di scostamento e di determinazione) è preferibile quello di determinazione poiché il metodo dei minimi quadrati opera sui quadrati delle differenze. Tanto più il risultato è vicino a 1 tanto più il modello rappresenta bene il fenomeno.

INTERPOLAZIONE E PEREQUAZIONE:

Una prima analisi di una serie storica si può effettuare mediante i procedimenti di interpolazione e perequazione.

L'interpolazione è un procedimento con il quale si determinano i dati mancanti di una rilevazione statistica. Si possono distinguere due tipi di interpolazioni:

• interpolazione per punti noti
• interpolazione fra punti noti

La perequazione è il procedimento che consente di sostituire i dati rilevati con dati teorici aventi un andamento più regolare. La perequazione può essere:

• perequazione grafica: consiste nel tracciare il diagramma eliminando le irregolarità
• perequazione analitica: consiste nel sostituire ai dati rilevati una distribuzione teorica, i parametri si calcolano con il metodo dei minimi quadrati
• perequazione per medie mobili: consiste nel sostituire ai dati rilevati le medie semplici o ponderate di tre, cinque.

REGRESSIONE LINEARE:

Lo studio della regressione consiste nella determinazione di una funzione matematica che esprima la relazione fra le variabili. La correlazione lineare misura la forza o l'intensità del legame fra due variabili. Si definisce coefficiente di correlazione lineare Pearson il rapporto fra la covarianza di X e Y ed il prodotto degli scarti quadratici medi di X e di Y. Il suo valore è compreso fra -1 e +1.

• Se r > 0 la correlazione è positiva, ossia all'aumentare dei valori di X i valori di Y tendono ad aumentare, e viceversa al diminuire dei valori di X diminuiscono quelli di Y.
• Se r < 0 la correlazione è negativa cioè all'aumentare di X i valori di Y diminuiscono, e viceversa al diminuire di X i valori di Y aumentano
• Se r = 1 la correlazione è perfetta positiva, cioè i punti del diagramma sono disposti su una retta ed esiste una relazione lineare crescente fra i valori di X e di Y
• Se r = -1, la correlazione è perfetta positiva, cioè i punti del diagramma sono disposti su una retta ed esiste una relazione lineare decrescente fra i valori di X e di Y
• Se r = 0, non esiste correlazione lineare

RELAZIONI FRA DUE VARIABILI:

Per lo studio della connessione fra due variabili si considera una tabella a doppia entrata che riporta le frequenze rilevate con cui due variabili rispettivamente X e Y hanno carattere quantitativo. Alla tabella a doppia entrata delle frequenze effettive si associa una tabella delle frequenze teoriche se c'è indipendenza non occorre effettuare ulteriori studi. Nell'analisi della dipendenza ha notevole importanza e applicazione lo studio della dipendenza in media di una variabile dall'altra. Partendo da una tabella a doppia entrata si sono costruite due tabelle a semplice entrata cui coppie di valori sono ponderate ossia ad ogni coppia si deve associare una frequenza. Queste due tabelle si interpolano con una funzione lineare, se è possibile utilizzando il metodo dei minimi quadrati e le due rette ottenute vengono dette rette di regressione. Quando nessuna delle due variabili X e Y si può ritenere antecedente rispetto all'altra si analizza la correlazione lineare. La misurazione della correlazione lineare è espressa dal coefficiente di correlazione lineare di Pearson. Se l'indice di Pearson è positivo si capisce che al crescere dei valori di un carattere crescono in media i valori dell'altro, se è negativo al crescere dei valori di uno in media diminuisce l'altro.

RELAZIONI FRA DUE MUTABILI:

Per lo studio della connessione fra due mutabili si considera una tabella a doppia entrata che riporta le frequenze rilevate con cui due mutabili rispettivamente X e Y hanno carattere qualitativo. Alla tabella a doppia entrata delle frequenze effettive si associa una tabella delle frequenze teoriche ossia delle frequenze che si dovrebbero avere se i due caratteri fossero indipendenti. Si definisce contingenza la differenza fra una frequenza effettive e la corrispondente frequenza teorica. Le contingenze possono essere positive, negative o nulle. Se le contingenze sono nulle le due mutabili X e Y sono indipendenti. Per valutare la connessione tra le due mutabili si sono costruiti molti indici basate sulle contingenze: indice di contingenza media assoluta di Mortara e l'indice quadratico medio di contingenza:

• Se entrambi sono uguali a zero le due mutabili sono indipendenti cioè non c'è connessione
• Se tendono ad uno è il caso della perfetta dipendenza
• In generale sono compresi fra zero e uno

RELAZIONI FRA UNA MUTABILE E UNA VARIABILE:

Una misura della connessione fra una mutabile e una variabile è data dall'indice di connessione di Pearson. Ad ogni mutabile X calcoliamo le medie ponderate della variabile Y (detta anche variabile di sottogruppo).

Si definisce indice di connessione di Pearson il rapporto fra lo scarto quadratico medio delle medie di sottogruppo e lo scarto quadratico medio della variabile Y. Questo indice varia fra 0 e 1. vale zero quando non esiste connessione cioè tutte le medie del sottogruppo sono uguali alla media generale. C'è massima connessione se l'indice è più vicino ad 1.

SERIE STORICHE:

La serie storica è una successione dei valori di un fenomeno rilevati a intervalli regolari di tempo. L'analisi e il confronto di varie serie storiche evidenziano meglio legami e relazioni fra fenomeni e consentono una conoscenza più approfondita dei fenomeni stessi. Di una serie storica è importante analizzare il movimento tendenziale, stagionale, ciclico e accidentale.

ANALISI DEL MOVIMENTO TENDENZIALE:

Il movimento tendenziale o trend è l'andamento di fondo del fenomeno

Una serie storica presenta quasi sempre un trend o crescente o decrescente, se è costante la serie storica è detta stazionaria. Per l'analisi del movimento tendenziale si può determinare:

• Il metodo dei minimi quadrati si opera una perequazione grafica e si sceglie la funzione (lineare, quadratica, esponenziale ecc.) che ha il migliore accostamento ai dati della serie
• Il metodo delle medie mobili che consiste nel sostituire nei dati grezzi i valori ottenuti con medie semplici o ponderate ottenendo così serie con valori più livellati

ANALISI DEL MOVIMENTO STAGIONALE:

Il movimento stagionale modifica la curva del trend con oscillazioni periodiche negli stessi periodi dell'anno. Se in una serie storica i dati sono stati rilevati per mesi, può essere utile conoscere l'influenza del fattore stagionalità. In modo analogo si procede se i dati sono rilevati per bimestri o trimestri. Vi sono diversi metodi per valutare un indice di stagionalità che sono:

• Il metodo della serie ideale di 12 mesi si calcola la media per ogni periodo, successivamente si calcola la media generale di tutte le medie. I rapporti fra le medie periodiche e le medie generali sono gli indici di stagionalità.
• Il metodo delle medie mobili centrate si esegue una perequazione con medie mobili centrate secondo i periodi di rilevazione (di 12 mesi se la rilevazione è mensile, di 6 bimestri se è bimestrale ecc.), successivamente si dividono i valori rilevati per i rispettivi valori perequati e per ogni periodo si calcola la media aritmetica, queste medie sono gli indici di stagionalità.

ANALISI DEL MOVIMENTO CICLICO:

Il movimento ciclico si manifesta con fluttuazioni periodiche o non periodiche, sulla curva del trend. Il movimento ciclico è composta da due elementi:

• Movimento ciclico lordo si elimina il trend e la stagionalità dividendo i dati relativi per i corrispondenti valori del trend ed eventualmente per gli indici di stagionalità. I rapporti misurano il movimento ciclico lordo
• Movimento ciclico netto con una perequazione per medie mobili di 3, di 5 o più termini si elimina il movimento casuale e si ottengono i valori del movimento ciclico netto.

ANALISI DEL MOVIMENTO ACCIDENTALE:

Il movimento accidentale o causale provoca piccole oscillazioni dovute a eventi casuali. I rapporti fra i valori del movimento ciclico lordo e quelli del movimento ciclico netto misurano il movimento accidentale.