GEOMETRIA - QUESTO NUOVO LAVORO SI SUDDIVIDE IN 13 ESERCIZI

Per risolvere questo problema è stato proposto dal coordinatore di trovare

prima di tutto l' altezza del triangolo applicando la formula inversa della area:

Con riferimento alla figura a fianco, dati il quadrato di lato a + b 

e il triangolo rettangolo di lati a,b,c dimostrare che deve essere 

a² +b² = c² (Teorema di Pitagora). 

Alla soluzione è arrivato il documentarista:

-Prendiamo per esempio l' angolo in A, è di 90°.

-Sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°, quindi la somma degli altri 2

(nell' esempio l' angolo in H e quello in E interni al triangolo) deve essere per forza di 90°.

-Questo vuol dire che l'angolo α è sicuramente di 90° perché in totale si forma un angolo piatto di 180°.

-Quindi essendo tutti di 90° la figura interna è sicuramente un quadrato.

-Prendiamo questo primo triangolo, di cui non sappiamo la misura degli angoli.

-Prendiamo come ipotesi che valga:a²+b² = c².

-Prendiamo il lato a e lo copiamo, poi facciamo un angolo di 90°e scriviamo b, in modo che l'angolo in C, punto di incontro di a e b, sia di 90°.

-Uniamo infine A con B con un segmento (lato) che chiamiamo x.

-Osserviamo che il triangolo formatosi è rettangolo (ha un angolo retto), quindi può valere a²+b² = x².

-Questo vuol dire che x è per forza uguale a c.

-Abbiamo quindi dimostrato che il Teorema di Pitagora vale solo con i triangoli rettangoli.

Da un punto P esterno ad una circonferenza si conducono ad essa

le due rette tangenti PA e PB, dove A e B sono i punti di contatto.

Dimostrare che, comunque sia scelto P, risulta sempre PA = PB.

IPOTESI: AO = OB (due raggi alla circonferenza)

TESI: PBO = PAO

-PO è la bisettrice perché da ogni punto partono due perpendicolari di ugual misura alle due semirette con origine in P; quindi essendo PO la bisettrice dell'angolo in P POA e POB sono due triangoli uguali

-Facendo una riflessione del triangolo POA sulla bisettrice PO andrà a finire sul triangolo POB.

Il problema è stato risolto con il metodo del Teorema di Pitagora:

-Sappiamo che gli angoli in A e in B sono di 90°, perché il raggio è perpendicolare alla sua tangente, possiamo applicare il Teorema di Pitagora:

a²+b²=c²

b'²+x²=c²

quindi risulta che x è uguale ad a .

In un triangolo rettangolo di lati che misurano 5, 12, 13, trovare

la lunghezza del segmento di bisettrice interno dell' angolo acuto maggiore

b = bisettrice dell' angolo in B

x = DC o DE, dato che sono le parallele che partono da un punto (D) e cadono perpendicolarmente sui lati dell' angolo.

Quindi come abbiamo dimostrato prima anche CB è uguale ad EB, ed essendo AB=13, EA sarà uguale a 8

DA=12-x

Ora risolviamo il problema con il Teorema di Pitagora trovando x :

per essere più sicuri utilizziamo

Ora che abbiamo x possiamo risolvere il problema trovando b sempre con il Teorema di Pitagora:

= b

= b

b = 6,006

Determinare il diametro del cerchio inscritto nel trapezio isoscele

di figura (AB = 100, CD = 40).

Osservando la figura si nota che CB,CD,BA,BC sono tutte tangenti alla circonferenza (contrassegnate dal colore verde).

Possiamo quindi dire:

CY = CX

BK = BX

KB = 50

YC = 20

CX = 20

Siccome BK e BX sono uguali allora:

BC = 70

Il diametro della circonferenza iscritta nel trapezio isoscele è uguale all'altezza del trapezio, che è uguale a:

Teorema delle corde. Data una circonferenza e due corde che si

incontrano in un punto P, con riferimento alla figura, quale tra le

seguenti due uguaglianze è vera?

a) AP ∙ PC = DP ∙ PB b) AP ∙ PB = DP ∙ PC

Osserviamo che gli angoli in B e in D sono uguali poiché insistono sullo stesso arco di circonferenza AC, anche gli angoli α e β sono uguali, quindi i due triangoli ADP e PCB sono simili; vale quindi AP:PC = DP:PB

Di conseguenza l' uguaglianza vera è per forza la seconda perché:

AP:PC = DP:PB è come scrivere AP∙PB=DP∙PC

Quindi è corretta la seconda uguaglianza.

Teorema delle secanti. Data una circonferenza e due secanti

che si incontrano in un punto P esterno alla circonferenza, con

riferimento alla figura, quale tra le seguenti uguaglianze è vera?

a) PA∙PC=PB∙PD b) PB∙PA=PD∙PC

-Come primo passo congiungiamo i punti A e C, e B e D, con due segmenti.

-Si sono così formati 2 triangoli:

PAC e PDB.

Questi due triangoli sono simili poiché hanno 2 angoli uguali:

l' angolo in P che è in comune con entrambi, e gli angoli in C e in B, che insistono entrambi sull' arco di circonferenza AD.

Essendo simili di conseguenza vale:

PB:PD=PC:PA che è ugale a dire:

PB∙PA=PD∙PC.

Teorema della tangente. Data una circonferenza, una secante e una

tangente che si incontrano in un punto P esterno alla circonferenza, con

riferimento alla figura, quale tra le seguenti uguaglianze è vera?

a) PT∙PT=PA∙PB   b)PA∙PT=PT∙PB

Risoluzione:

Tracciando i segmenti che uniscono TB e TA si formano 2 triangoli simili:

PTA e PTB. Sono simili perché hanno l' angolo in P in comune e    ???????

Essendo quindi simili vale la seguente proporzione:  PA:PT=PT:PB

Cioè PT∙PT=PA∙PB

Il problema è risolto, la prima uguaglianza è quella vera.

Teorema di Euclide. Dato un triangolo rettangolo di altezza

BH relativa all' ipotenusa, con riferimento alla figura a fianco, quale

tra le seguenti due proporzioni sulle misure dei lati è corretta?

a) AH:AB=AB:AC b) AH:AB=AC:AB

Il documentarista ha trovato grazie al libro i due triangoli simili per dimostrare il teorema:

ABC ≈ ABH

Il coordinatore ha poi dimostrato perché sono simili:

L'angolo α è in comune fra i due triangoli, mentre l'angolo β e l' angolo γ sono entrambi di 90°.

Dato che sono simili possiamo dettare la seguente proporzione dettata dal revisore:

AH:AB=AB:AC.

Abbiamo così enunciato il Teorema: "Un cateto è medio proporzionale fra l' ipotenusa e la sua proiezione sull' ipotenusa".

A differenza del problema precedente bisogna tenere in considerazione i triangoli tra loro simili AHB e HBC simili perché:

hanno entrambi un angolo di 90°(angolo α e angolo β)

e siccome la somma di γ + δ deve essere di 90°e l' angolo in B è di 90°, l'angolo γ è uguale all' angolo ε.

Quindi essendo simili vale per forza la seguente proporzione:

AH:BH=BH:CH

12. Con riferimento alla figura, AB è un diametro della semicirconferenza

e CD è perpendicolare ad AB. Se AD = 1 e AC=BD=x, quanto vale x?

x=1,618

13. Un triangolo equilatero è inscritto in un cerchio, con le

dimensioni riportate in figura. Determinare il diametro del cerchio.

Innanzi tutto ci siamo trovati l' altezza del triangolo:

Ora possiamo dire che l'angolo in B è di 90°, questo perché insiste sull' arco AD, ed è la metà dell'angolo al centro che insiste anch'esso sull' arco di circonferenza AD.

Ora possiamo formulare la seguente proporzione: