LA STORIA DEI POLINOMI E DEI MATEMATICI

IL 3° GRADO

Arriviamo al XVI secolo con Scipione del Ferro, Niccolò Fontana (Tartaglia) e Gerolamo Cardano che risolsero la generica equazione di terzo grado in funzione delle costanti dell'equazione stessa.

IL 4° GRADO

Spettò poi all'allievo di Cardano, Ludovico Ferrari nel 1545, il merito di aver determinato una soluzione esatta e valida per l'equazioni di quarto grado.

IL GRADO

Nei secoli che seguirono l'obiettivo dei più grandi matematici fu rivolto alla ricerca di una formula generale che fornisse le radici delle equazioni di grado superiore o uguale al quinto. Furono proprio Paolo Ruffini, Niels Abel e Evariste Galois che dimostrarono, a livello teorico l'inesistenza di tale formula. Lo studio della teoria delle equazioni progredì nel corso dell' XVIII secolo, e nel 1799 il matematico tedesco Carl Friedrich Gauss pubblicò la dimostrazione del fatto che ogni equazione polinomiale ammette almeno una soluzione nel piano complesso, un risultato estremamente importante oggi noto come Teorema Fondamentale dell'Algebra.

Diversi matematici si occuparono di trovare una formula per la risoluzione del quinto grado fra cui Eulero, Bèzout, Vandermonde, Waring, Lagrang 737g66h e. Abel dimostrò che non esisteva una formula per risolvere queste equazioni. Successivamente Galois e Ruffini estesero questa regola a tutti i polinomi di grado superiore al quarto.

PAOLO RUFFINI (1765 - 1822)

Paolo Ruffini nacque il 22 settembre 1765 a Talentano. Il padre Basilio era medico. Da piccolo aveva un temperamento mistico e sembrava fosse destinato alla carriera ecclesiastica. Quando Paolo era ragazzo la famiglia si spostò a Reggio in Emilia Romagna, così egli ebbe la possibilità di studiare all' Università di Modena. Studiò matematica, medicina, filosofia e letteratura. Il 9 giugno 1788 conseguì la laurea in filosofia, medicina e chirurgia; subito dopo si laureò in matematica. Ebbe subito l'opportunità di insegnare Matematica all'Università di Modena e contemporaneamente ebbe l'abilitazione a praticare la professione di medico. Nel 1796 Napoleone Buonaparte occupò Modena con le sue truppe e Ruffini si trovò in mezzo a capovolgimenti politici e, contro la sua volontà, si ritrovò a ricoprire una carica importante nella repubblica Cisalpina (Lombardia, Emilia, Modena, e Bologna); ma si dimise subito per dedicarsi al suo lavoro scientifico. Per motivi religiosi, non gli fu possibile giurare fedeltà alla repubblica come gli era stato chiesto e questo gli costò la sua posizione all'Università. Ruffini prese la cosa con filosofia perchè era una persona molto calma; d'altra parte non dovendo più insegnare avrebbe avuto più tempo per dedicarsi alla medicina ed ai suoi pazienti ai quali era devoto. Inoltre ebbe anche più tempo per dedicarsi ai suoi progetti più originali, per quanto riguarda la matematica: egli provò che le equazioni di quinto grado non possono essere risolte con i radicali, ovvero che non si può trovare una formula per le radici che coinvolga le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed estrazione di radici. Ruffini, insegnò matematica applicata per sette anni presso la scuola militare di Modena. Continuò inoltre a praticare la professione di medico curando pazienti dai più ricchi ai più poveri. Dopo la caduta di Napoleone, Ruffini divenne rettore dell'Università di Modena. Era il 1814 e la situazione politica era molto complessa: nonostante la sua abilità ed il rispetto di cui godeva, il periodo del suo rettorato fu estremamente difficile. Contemporaneamente egli aveva una cattedra di matematica applicata, una di medicina, ed una di clinica medica. Nel 1817 ci fu un'epidemia di tifo e Ruffini continuò a curare i suoi pazienti finchè non si ammalò egli stesso. Nonostante un parziale ricovero, egli non si curò perfettamente e nel 1819 lasciò la cattedra di clinica medica. Nel 1820 pubblicò un articolo scientifico sul tifo, basato sulla sua esperienza. Pubblicò anche articoli di probabilità e di filosofia. Morì a Modena nel 1822 all'età di 57 anni.

JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 - 1855)

Johann Carl Friedrich Gauss nacque nel 1777 a Brunswick. A 7 anni incominciò la scuola elementare e sorprese il suo insegnante sommando istantaneamente tutti i numeri da 1 a 100 considerandoli come 50 coppie di 101. Fin da giovane scrisse in un quaderno di appunti le sue scoperte, ma non si soffermava sui dettagli e quindi preferiva non renderle pubbliche. Di conseguenza solo successivamente si scoprì che aveva già trovato in anteprima dei teoremi in seguito pubblicati da altri matematici. All'Università fece diverse scoperte di grande rilevanza. Gauss abbandonò l'Università di Göttingen senza diploma ma da quel momento fece una delle sue scoperte più importanti (costruzione di un poligono regolare di 17 lati con compasso e righello). Ottenne una laurea nel 1799. È stato il primo a provare il teorema fondamentale dell'algebra. Effettivamente produsse negli anni quattro diverse dimostrazioni, chiarendo il concetto di numero complesso strada facendo. Con il libro Disquisitiones arithmeticae (1801) diede un notevole contributo alla teoria dei numeri, presentando un modo chiaro l'aritmetica modulare e la prima dimostrazione della legge del reciproco dei quadrati.

Contemporaneamente Gauss scoprì nel 1794 (ma pubblicò solo nel 1809) il metodo dei minimi quadrati usato tutt'ora in tutte le scienze per ridurre l'impatto degli errori di misurazione. Grazie a tale metodo riuscì a predire la posizione dell'asteroide Ceres. Benché sovvenzionato dal Duca di Braunschweig, non gradiva l'incertezza di tale soluzione e non credendo che la matematica fosse abbastanza importante, desiderò un impiego nell'astronomia e nel 1807 divenne professore di astronomia e direttore dell'osservatorio astronomico di Göttingen. Nonostante la morte dei suoi parenti più stretti il suo lavoro continuò senza subirne conseguenze. Nel 1818 Gauss cominciò una rilevazione geodesica su grande scala dello stato di Hanover (D) che lo porterà allo sviluppo della distribuzione Gaussiana usata per descrivere la misura degli errori. Dalla stessa ricerca nasce l'interesse per la geometria differenziale e il teorema egregrium che stabilisce importanti proprietà nella nozione di curvatura.

Venne definito "Principe dei Matematici" perché ritenuto uno dei più importanti dell'epoca moderna. Nel 1822 Gauss vinse il Premio dell'Università di Copenaghen. Prima del 1831 Gauss si occupò anche di fisica facendo anche importanti scoperte. Ricercò insieme a Weber le proprietà del magnetismo terrestre. Scoprì con lui le leggi di Kirchhoff. Inoltre egli scoprì la possibilità della geometria non euclidea, ma non pubblicò mai tale risultato. Un suo amico (Farkas Wolfgang Bolyai) tentò vanamente per anni di provare il postulato del parallelismo a partire dagli altri assiomi euclidei. János Bolyai (figlio del primo) riscoprì la geometrica non euclidea negli Anni 1820, pubblicando i risultati nel 1832. Più tardi Gauss tentò di verificare la natura non-euclidea del mondo reale misurando triangoli molto grandi.

Nel 1831, una fruttuosa collaborazione con il professore di fisica Wilhelm Weber lo portano a studiare il magnetismo, alla scoperta della legge di Kirchhoff nell'ambito dell'elettricità e alla costruzione di un primitivo telegrafo. Nel 1837 ebbe una disputa politica e venne allontanato da Göttingen; da quel momento la sua attività diminuì. Fece un lavoro per l'Università di Göttingen e ottenne così un'esperienza in problemi finanziari e cominciò la sua fortuna in compagnie private.

Benché non avesse mai lavorato come professore di matematica e non gradisse l'insegnamento, diversi suoi studenti sono diventati importanti matematici, come ad esempio Richard Dedekind e Bernhard Riemann. Negli anni successivi la sua salute peggiorò fino a quando morì nel 1855 durante il sonno all'età di 78 anni

NIELS HENRIK ABEL (1802-1829)

Niels Henrik Abel nacque nel 1802 in Norvegia sull'isola di Finnoy in una prestigiosa famiglia, infatti suo padre era un importante politico. Alla sua morte, nel 1820 la famiglia si impoverì e Abel fu costretto a mantenere la famiglia. A tredici anni a Oslo conobbe un insegnante sadico e ignorante che teneva la disciplina picchiando brutalmente i suoi allievi finchè uno morì e lui fu allontanato. Subentrò allora un bravo matematico dilettante Berndt holmboe, che capì subito le doti straordinarie di Abel.  I suoi professori lo aiutarono a continuare gli studi conseguendo così un dottorato. Abel sperò di ottenere una cattedra all'Università ma venne snobbato da tutti e anche da Gauss. Quindi non riuscì a trovare alcuna occupazione, la sua situazione peggiorò e si ammalò di tubercolosi. Le sue scoperte non vennero riconosciute adeguatamente. A 19 anni dimostrò che non esiste una formula utilizzando i radicali per risolvere le equazioni di quinto grado. Successivamente fu Galois a generalizzare per tutti i gradi superiori al quarto. Abel morì nel 1829 a 27 anni. Due giorni dopo la morte ricevette una lettera dall'Università di Berlino nella quale era stato nominato professore di matematica. Un anno dopo ricevette il gran premio di matematica dell'Istituto di Francia. Le scoperte di Abel permisero di trovare soluzioni a problemi che prima era impossibile risolvere. Inoltre hanno permesso l'inizio degli studi di Klein sull'icosaedro e alle ricerche attuali sulle funzioni algebriche. Fra le scoperte di Abel si trova la risoluzione di un vecchio problema: xⁿ + yⁿ = zⁿ. La soluzione di questo problema ha un ruolo essenziale in crittografia, infatti si utilizza questo sistema per permettere di transmettere il numero di carta di credito via internet in

EVARISTE GALOIS (1811 - 1832)

Nato a Bourg-la-Reine nel 1811 da Nicholas Gabriel e Adelaide Marie Demante, due genitori con buone conoscenze nel campo della filosofia, della letteratura classica e della religione. La madre sarà la prima persona a curarsi della formazione del piccolo Evariste, fino all'età di 12 anni quando si iscrive al liceo Louis-le-Grand. I primi anni della sua carriera scolastica registrano buoni risultati in tutte le materie. Nel febbraio del 1827 Galois entra a far parte della sua prima classe di matematica di M. Vernier. Questi dirà di lui: "E' la passione per la matematica a dominarlo, penso che sarebbe meglio per lui se i suoi genitori lo obbligassero a studiare qualsiasi altra cosa, sta sprecando il suo tempo qui e non fa altro che tormentare i suoi insegnanti e ricoprirsi di punizioni."

Le note scolastiche descriveranno spesso Galois come un ragazzo singolare, bizzarro, originale e chiuso. Nel 1928 Galois sostiene l'esame d'ammisione per l'Ecole Polytechnique, così torna al Louis-le-Grand però questa volta nella classe di Louis Richard. Lavora molto sulle proprie ricerche personali e molto poco sui propri compiti scolastici, tanto che Richard dice di lui: "Questo studente lavora soltanto nei più alti regni della matematica".

L'Aprile del 1829 vede la prima pubblicazione di un articolo di Galois sulle frazioni continue sui prestigiosi Annales de mathématique. Seguiranno a questa altre pubblicazioni sulla risoluzione delle equazioni algebriche.

Ma continueranno ancora le difficoltà con le istituzioni scolastiche, infatti fallirà anche il suo secondo tentativo di entrare all'Ecole Politechnique e dovrà 'rassegnarsi' ad entrare all'Ecole Normale di Parigi. Per entravi sostiene un esame al termine del quale il suo esaminatore di matematica riporterà la seguente nota:

"Questo ragazzo è talvolta oscuro nell'esprimere le sue idee, ma è intelligente e mostra un notevole spirito di ricerca"

Mentre il suo esaminatore di letteratura dirà:

"Questo è l'unico studente che mi ha risposto scarsamente, non conosce assolutamente nulla. Ho sentito dire che questo studente ha straordinarie capacità per la matematica. Ciò mi stupisce enormemente, poiché, dopo il suo esame, ritengo che possegga una scarsa intelligenza"

Galois spedisce a Cauchy i suoi lavori sulla teoria delle equazioni, ma viene a sapere di un articolo postumo di Abel che ricalca alcuni suoi risultati, così ritira i suoi lavori. Nel febbraio del 1930 invia a Cauchy un altro articolo Sulle condizioni per cui un equazione e risolvibile per radicali, il suo lavoro viene girato a Fourier per considerarlo in vista del Gran Premio della Matematica, ma Fourier muore pochi mesi dopo e i lavori di Galois vanno misteriosamente perduti. Ma le disavventure di Galois non finiscono qua. Il giovane matematico verra prima espulso dall'Ecole Normale e poi due volte arrestato per le sua focosa e attivissima militanza politica repubblicana.

Galois si scontrò a duello con Perscheux d'Herbinville il 30 maggio 1832, le ragioni del duello non sono chiare, ma sembrano collegate in qualche modo ad una donna, Stephanie-Felice du Motel, di cui Galois si era invaghito qualche mese prima. Una sorte di legenda racconta che Galois passò la notte prima del duello a scrivere tutto ciò che sapeva sulla teoria dei gruppi, è ragionevole pensare che ciò sia un po' esagerato. Comunque Galois fu gravemente ferito e lasciato sulla strada da d'Herbinville e dal suo secondo. Morirà in ospedale il giorno dopo, il 31 maggio 1832 quando non ha ancora compiuto i 21 anni.

Il materiale di Galois fu ricopiato e spedito dal fratello e da un amico a Gauss, Jacobi e altri. I matematici del tempo si accorgeranno del patrimonio rappresentato da quegli appunti solo una decina di anni dopo. Il contenuto di quei fogli passa oggi sotto il nome di Teoria di Galois: in meno di 21 anni di vita Evariste Galois portò alla luce concetti ancora fondamentali per l'algebra moderna.

L'EVOLUZIONE DELLA RICERCA MATEMATICA

A seguito di queste scoperte, la ricerca di una formula che permettesse di risolvere le equazioni di grado superiore al quarto, viene abbandonata in quanto era stata dimostrata la sua inesistenza. A questo punto, quindi, i matematici hanno incominciato a ricercare un modo attraverso logaritmi e di conseguenza approssimazioni per trovare una soluzione quanto più vicina possibile agli zeri. A seconda dell'algoritmo la velocità di risoluzione può essere maggiore o minore. Solitamente i primi tentativi vengono realizzati con un algoritmo che dimezza le possibilità di soluzione. Quando infine le possibilità sono in numero sufficientemente piccolo si utilizza l'algoritmo di Newton che è molto più rapido ad avvicinarsi alla vera soluzione.