APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI : METODO DEI MINIMI QUADRATI

matematica

APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI : METODO DEI MINIMI QUADRATI.

Sia data una tabella di valori ( x , y) con i = 0 ,1,2,.,n cioè di n+1 punti , si vuole ottenere che tali punti siano immagine di una funzione ; se si effettua tale approssimazione con l'interpolazione polinomiale 313i89d non si fa altro che trovare il polinomio che passa per quei punti cioè che in x assume i valori y:

p(x) = y

si può utilizzare l'interpolazione polinomiale 313i89d anche per calcolare valori assunti da una funzione che non si sa calcolare, al posto di f(x) si costruisce un p(x) tale che:

p(x) = f(x)

Quando si ha un numero elevato di punti il polinomio che passa per questi punti è una funzione che presenta molte oscillazioni in genere al posto di quest'ultima si cerca la retta che si discosta il meno possibile dai punti dati cioè la " retta ai minimi quadrati " sia (x) la funzione che approssima i dati in questo senso se:

r = (x) - y

si vuole che la quantità r sia minima. L'interpolazione polinomiale 313i89d risolverebbe analogamente questo problema in quanto esiste sempre un polinomio di grado n che approssima i punti , ma sarebbe n un grado troppo elevato l'obiettivo è ottenere una funzione di grado più basso possibile.

La retta ai minimi quadrati o retta di regressione viene scritta nella forma :

(x) = a x + b

ricavata da questa l'espressione di r( a,b ) si fa in modo che questa quantità sia minima imponendo le derivate prime parziali di r rispetto ad a e b nulle. Si ottiene un

sistema nelle incognite a e b costituito dalle seguenti equazioni:

ax + b x = xy

a x + b n = y

Risolto il sistema si ottengono a e b e quindi l'equazione della retta di regressione desiderata.

L'efficacia del metodo viene valutata attraverso due parametri :

r(a , b) o residuo quadratico

e.r.m.s. = (r /n) o residuo quadratico medio.

LEZIONE DEL CORSO DI CALCOLO NUMERICO PER CHIMICI INDUSTRIALI

PROF.SSA A.M.URBANI

STUDENTE  CARIATI RAFFAELE