Potenze con esponente razionale

Es.: (-5)^2/3

Proprietà delle potenze con esponente reale

Il prodotto di 2 potenze aventi la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti:

a^2/3.a^4/5 = a^2/3+^4/5 = a ^10+12/15 = a^22/15 = ¹⁵√a²²

il quoziente di due potenze aventi la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti:

la potenza di una potenza è una potenza avente la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti:

(a^2/3)^3/4 = a^2/3.3/4 = a^1/2 = √a

il prodotto di due potenze aventi lo stesso esponente è una potenza che ha per baseil prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente:

il quoziente di due potenze aventi lo stesso esponente è una potenza che ha per base il quoziente della base e per esponente lo stesso esponente:

teorema sulle potenze: all'umentaredell'esponente reale χ la potenza a^χ aumenta se a>1 diminuisce se 0<a<1

funzione esponenziale:si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo y=a^χ con a ЄIR⁺ (a appartiene ai numeri reali.

1)se a>1 la funzioen y=a^χ con a >1 è asintotica verso sinistra e interseca l'asse y nel punto (0;1)

il dominio di una funzione è il valore che può assumere la χ, il codominio sono i valori che può assumere la y SEMPRE POSITIVI

2) 0<a<1 i grafici di y =a^χ sia che a>1 sia che o<a<1 sono simmetrici rispetto all'asse y

eq.ni esponenziali: un'eq.ne si dice esponenziale quando contiene almeno una potenza avente l'incognita per esponente: 2x = 4 eq.ne esp

2.x.5²-1 = 0 no esp.

χ^m/n = ⁿ√χ^m

logaritmi: a^χ = b  a≠1 Эχ/ a^χ=b χ= log_ab ↔ a^χ = b

logaritmo in base a di b:dati due numeri reali positivi a e b con a≠1 si chiama logaritmo in base a di b l'esponente di χ da assegnare alla base a per ottenere il numero b

χ=log_ab   a^χ=b

log_a 0 = esiste? → aχ = 0 Э non esiste perché nn esiste un numero χ tale che a^χ sia = 0

log₂(-3) = impossibile perché nessun numero elevato χ da un numero negativo

i logaritmi esistono solo in numeri positivi maggiori di zero

proprietà dei logaritmi:

. il logaritmo del prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori

log_a (b.c) = log_ab+log_ac

. il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza fra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore

log_a (b/c) = log_ab - log_ac

. il logaritmo di potenza di un numero positivo elevato ad esponente reale è uguale al prodotto di tale esponente per il logaritmodi quel numero positivo

log_abⁿ = n.log_ab

teorema all'aumentare dell'argomento b (reale positivo) il logaritmo in base a di b (logab) aumenta se a>1 diminuisce se 0<a<1

funzione logaritma: è una funzione del tipoy=log_aχ con a>0e a≠1

la funzione logaritma è sempre una funzione crescente inoltre risulta positiva per χ>1 e negativa per a<χ<1 Quando χ si avvicina a zero la funzione tende a -∞ La funzione logaritmica e la funzione esponenziale sono simmetriche rispetto alla bisettrice delprimo e del secondo quadrante. Se la base è compresa tra 0 e 1 la funzione logaritma è sempre decrescente e positiva per χ<1 e negativa per χ>1 è asintotica e tende a +∞ quando χ tende a zero