Se, come nel caso proposto, c'è almeno un elemento di A che non appartiene a B, si dice che B è un sottinsieme proprio di A

Ma spesso ci si trova nell'impossibilità pratica o teorica di elencare tutti gli elementi di un insieme e risulta quindi molto più efficace e generale individuare gli insiemi in modo intensivo, esplicitando cioè una proprietà che, se posseduta da un elemento, equivale alla dichiarazione di appartenenza.

Questa proprietà è espressa da una funzione logica p(x), cioè da una proposizione dichiarativa costituita da un soggetto x (argomento della funzione) e da un predicato p, tale da risultare vera o falsa a seconda del valore di x.

Dato il predicato p, l'insieme è formato da tutti e soli gli elementi che rendono vera la frase " x p". L'insieme di denota intensivamente in questo modo

che si interpreta : "P è l'insieme di tutte le x tali che p(x) è vera."

P è detto insieme di verità della funzione p(x).

Esempio:

p(x) = "x è una vocale".

x, il soggetto della dichiarazione, è l'argomento della funzione logica; "è una vocale" è il predicato.

Se ad x si attribuisce il valore "i" si ottien 959b17j e una proposizione vera, mentre se ad x si attribuisce il valore "s" si ottiene una proposizione falsa.

Se però a x si attribuisce il valore "1" si ottiene una frase senza senso, di cui non si può dire se è vera o falsa. Il predicato implicitamente definisce l'insieme dei soggetti sensati, che è detto dominio di p(x). Nell'esempio, il dominio è l'alfabeto.

La p(x) permette quindi di suddividere il dominio in due sottinsiemi: l'insieme di verità P e  l'insieme di falsità o insieme complementare di P.

L'insieme complementare di P, che può essere indicato sopralineando P, è l'insieme di verità della negazione di p(x), indicata con -p(x), da leggere "Non è vero che." seguita dall'enunciato p(x).

Nell'esempio proposto, l'insieme di falsità è l'insieme delle consonanti.

La negazione di una verità è falsa.

La negazione di una falsità è vera.

Due negazioni successive si annullano.

Esempio: p(x)="x è una vocale".

p("e"): Vero. p("s"): Falso. -p("s"): Vero. -(-p("a")): Vero.

Una funzione logica che non è verificata da nessun elemento del dominio ha come insieme di falsità il dominio stesso. Le si attribuisce come insieme di verità l'insieme vuoto, denotato solitamente con Æ.

Quindi il complementare del dominio è il vuoto e viceversa.

Esempio.

p(k)="k è un numero primo pari".

E` chiaro che il dominio è l'insieme N dei numeri naturali.

Ogni elemento di N falsifica la p(x).

L'insieme di verità di p(k) è Æ.

2. Operatori binari

2.1 Congiunzione e intersezione

Date due funzioni logiche di identico dominio p(x) e q(x) e con insiemi di verità P e Q, la funzione logica c(x) che è vera solo per gli argomenti che verificano entrambe le funzioni è detta congiunzione (o anche prodotto logico) di p(x) e q(x). Questa funzione si indica solitamente interponendo tra le due funzioni il simbolo Ù che si legge "et" alla latina o "and" all'inglese. Sono in uso anche i simboli & o i simboli di moltiplicazione (compreso il semplice accostamento).

L'operatore binario Ù (o uno dei suoi sinonimi) è detto connettivo di congiunzione.

L'insieme di verità C di c(x) è detto insieme intersezione (o, semplicemente, intersezione) di P e Q:

Esempio.

Le due funzioni logiche d(k)="k è pari" e t(k)="k è multiplo di 3" hanno entrambe come dominio l'insieme N dei numeri naturali. Detto D l'insieme di verità di d(k) e T l'insieme di verità di t(k),

Se nel dominio nessun elemento verifica la congiunzione, l'intersezione è vuota.

Esempio.

p(k)="k è pari"; q(k)="k è primo"

In seguito, quando si connettono due funzioni, si assume implicitamente che abbiano ugual dominio.

2.2 Disgiunzione e unione

Date due funzioni logiche p(x) e q(x) con insiemi di verità P e Q, la funzione logica d(x) che è vera solo per gli argomenti che verificano almeno una delle due (eventualmente entrambe) è detta disgiunzione inclusiva (o anche somma logica) di p(x) e q(x). Questa funzione si indica interponendo tra le funzioni date il simbolo Ú che si legge "vel" alla latina o "or" all'inglese. Sono in uso anche i simboli | o +.

L'operatore binario Ú (o uno dei suoi sinonimi) è detto connettivo di disgiunzione.

L'insieme di verità D di d(x) è detto insieme unione (o, semplicemente, unione) di P e Q

Esempio.

Riprendendo le due funzioni d(x) e t(x) dell'esempio precedente e i loro insiemi di verità D e T,  indicando estensivamente alcuni elementi dell'insieme D si ha

2.3 Implicazione materiale e sottinsiemi

Date due funzioni logiche p(x) e q(x) con insiemi di verità P e Q, la funzione logica i(x) che è vera solo per gli argomenti per cui non è vero che verificano la prima ma non la seconda è detta implicazione materiale tra p(x) e q(x). Questa funzione si indica interponendo tra le funzioni date il simbolo ® che si legge "implica".

L'insieme di verità I di i(x) include Q ma non P. Si scrive

e si legge "Q è sottinsieme di I", "P non è un sottinsieme di I".

Esempio.

Riprendendo le due funzioni logiche d(x) e t(x) degli esempi precedentemente proposti e i loro insiemi di verità D e T, l'insieme I di tutti gli elementi di N che verificano l'implicazione tra d(x) e t(x) è

Allora

p(1)®q(1) : Vero  ("1 è pari implica che 1 è multiplo di 3": una falsità implica qualunque cosa)

p(2)®q(2) : Falso ("2 è pari  non implica che 2 è multiplo di 3")

Se I  coincide con l'universo, P è un sottinsieme di Q.

Esempio.

p(x)="x è un quadrato", q(x)="x è un rettangolo".

Ovviamente il dominio è l'insieme delle figure geometriche piane.

La congiunzione

risulta vera solo per i quadrati che non sono rettangoli. Tali quadrati non esistono. La congiunzione è sempre falsa e la sua negazione sempre vera. Quindi PÍQ.

3. Proprietà degli operatori binari

Dati (nello stesso dominio) due insiemi P e Q:

la loro intersezione è un sottinsieme della loro unione. Questo si assume vero anche se l'intersezione è vuota.

il vuoto è quindi sottinsieme di tutti gli insiemi.

intersezione e unione sono commutative:

l'intersezione è distributiva rispetto all'unione e viceversa:

l'unione di un insieme con un suo sottinsieme dà l'insieme; l'intersezione di un insieme con un suo sottinsieme dà il sottinsieme (Leggi di assorbimento)

prime leggi di De Morgan

Ad ognuna di queste proprietà degli insiemi corrisponde un'analoga proprietà delle funzioni logiche che li definiscono.

Ad esempio, le leggi di De Morgan in logica diventano

In lingua:

la negazione di una disgiunzione equivale alla congiunzione delle negazioni;

la negazione di una congiunzione equivale alla disgiunzione delle negazioni;

Si lascia all'esercitazione personale la formulazione logica delle altre proprietà.

Per le leggi di De Morgan l'implicazione materiale può essere definita anche nel seguente modo

4. Quantificatori logici

4.1 Quantificatore universale e implicazioni logiche

Per affermare che una funzione logica p(x) è verificata da tutti gli elementi del dominio X è utile introdurre il quantificatore universale " che si legge "per ogni"

"Per ogni x, p(x)".

Traducendo in lingua corrente: "L'affermazione p(x) è sempre vera".

L'uso del quantificatore universale e dell'implicazione materiale può essere sintetizzato dal connettivo di implicazione logica Þ (che si legge "se.allora.")

Esempio.

Se il dominio è l'insieme dei triangoli  e se b(x)="x è equilatero" e a(x)="x è isoscele", l'interpretazione di

è "Se un triangolo è equilatero allora è isoscele". Nel linguaggio insiemistico: "L'insieme dei triangoli equilateri è un sottinsieme dell'insieme dei triangoli isosceli".

Per dire che B, insieme di verità di b(x) è un sottinsieme proprio di A, insieme di verità di a(x)

Esempio.

Con riferimento all'esempio precedente, l'interpretazione di

è "Tutti i triangoli equilateri sono isosceli, ma non tutti i triangoli isosceli sono equilateri".

In linguaggio insiemistico: "L'insieme dei triangoli equilateri è un sottinsieme dell'insieme dei triangoli isosceli".

Per dire che B, insieme di verità di b(x) coincide con A, insieme di verità di a(x), è utile l'introduzione del connettivo di doppia implicazione logica Û (che si legge ".se e solo se.")

Esempio.

Se il dominio è l'insieme dei triangoli e a(x)="x è ha due lati uguali" e b(x)="x ha due angoli uguali", l'interpretazione di

è "Un triangolo ha due angoli uguali se e solo se ha due lati uguali".

In linguaggio insiemistico: "L'insieme dei triangoli con angoli lati uguali coincide con l'insieme dei triangoli con due lati uguali".

4.2 Quantificatore esistenziale

Per affermare che nel dominio X almeno un elemento verifica la p(x) si introduce il quantificatore esistenziale $, che si legge "Esiste almeno un"

"Esiste almeno un x per cui p(x)".

Traducendo in lingua corrente: "l'affermazione p(x) è vera almeno in un caso".

Esempio: per dire che l'intersezione tra due insiemi A e B definiti da a(b) e b(x) non è vuota:

5. Le seconde leggi di De Morgan

Nell''insieme X = l'applicazione del quantificatore universale alla funzione logica p(x) afferma che la p(x) è vera per ogni elemento di X, cioè che è vera la congiunzione logica

La negazione di questa congiunzione, per le prime leggi di De Morgan, equivale alla disgiunzione delle negazioni

cioè: è vera almeno una delle negazioni.

La negazione di una quantificazione universale equivale ad almeno una negazione.

Esempio: Dire "Non è vero che tutti i programmi TV sono inguardabili" è lo stesso che dire "C'è almeno un programma TV che non è inguardabile".

Nell'insieme X = l'applicazione del quantificatore esistenziale alla funzione logica p(x) afferma che la p(x) è vera per almeno un elemento di X, cioè che è vera la disgiunzione logica

La negazione di questa disgiunzione, per le prime leggi di De Morgan, equivale alla congiunzione delle negazioni

cioè: sono vere tutte le negazioni.

La negazione di una quantificazione esistenziale equivale all'affermazione di tutte le negazioni.

Esempio:

Dire "Non è vero che c'è almeno un tipo di sigarette che fa bene" è lo stesso che dire "Tutti i tipi di sigarette non fanno bene".

L'uso delle seconde leggi di De Morgan può aiutare a comprendere meglio il senso logico dell'implicazione materiale

e dell'implicazione logica

Si ha infatti

traducendo l'ultima proposizione: "Non esiste nessuna x che verifichi p(x) ma non q(x)", cioè "Tutte le x che verificano p(x) verificano anche q(x)". In termini insiemistici : "L'insieme di verità di p(x) è incluso nell'insieme di verità di q(x)".

6. Matematica, logica e filosofia.

L'esigenza di un'analisi razionale delle questioni umane (scientifiche e morali) produsse nella Grecia del VI-V secolo a.C. la nascita della filosofia. Un'analisi razionale non può però prescindere dalla definizione di corrette procedure di deduzione per evitare che nei ragionamenti, pur partendo da giuste premesse, si giunga a conclusioni errate o insensate.

Ad esempio, Zenone di Elea, per sostenere le proprie tesi, usava spesso lo schema dimostrativo che oggi viene detto per assurdo e che è usato correntemente in Matematica nella dimostrazione di molti teoremi.

Questo schema è corretto? Le deduzione che si ottengono dalla sua applicazione sono convincenti?

La risposta è positiva se si può mostrare che se a(x) è l'ipotesi e b(x) la tesi

Nel più generale ambito della ricerca filosofica si sviluppò ben presto una ricerca specifica sulle corrette modalità di ragionamento. Questa ricerca fu condotta in modo sistematico soprattutto da Aristotele in un complesso di opere in seguito collettivamente indicate con il nome di "Organon". Anche il vocabolo "Logica" è successivo ad Aristotele (sembra sia dovuto ad Alessandro d'Afrodisia, un suo commentatore del 200 d.C.).

Nelle opere dell'Organon Aristotele analizza i "giudizi",  cioè sostanzialmente le frasi che qui sono state chiamate funzioni logiche, e come da particolari schemi di connessione di diversi giudizi si possa ricavare una sintesi che produce nuova conoscenza. Tali schemi logico furono detti figure di sillogismo.

I sillogismi consistono in una congiunzione di due proposizioni (premessa maggiore e minore) aventi un termine in comune (termine medio) e da un conclusione che correla gli altri due termini. L'importanza dell'analisi aristotelica sta nella affermazione che la validità della conclusione non dipende da ciò di cui si parla, ma dalla forma del sillogismo.

Prima figura.

Il termine medio è soggetto della premessa maggiore, che è un affermazione universale, e predicato della premessa minore, che è un'affermazione particolare,  "Gli uomini sono mortali" e "Socrate è un uomo". Come conclusione si ha un'affermazione particolare formata attribuendo al soggetto della premessa minore (Socrate) il predicato della premessa maggiore (mortale): "Socrate è mortale".

Seconda figura.

Il termine medio è predicato in entrambe le premesse e la prima premessa è una negazione universale, la seconda un'affermazione universale: "I mammiferi non hanno penne", "I merli hanno penne".  Come conclusione si ha una negazione universale formata attribuendo come predicato al soggetto della premessa minore (merli) il del soggetto della premessa maggiore (mammiferi) : "I merli non sono mammiferi".

Terza figura.

Il termine medio è soggetto nelle due premesse, costituite entrambe da affermazioni universali: "I pipistrelli sono mammiferi", "I pipistrelli volano". Come conclusione si haa una quantificazione esistenziale sui due predicati: "Qualche mammifero vola".

Può essere un esercizio stimolante tradurre queste figure di sillogismo nel formalismo logico adottato nei paragrafi precedenti.

Sicuramente la scienza che meglio si prestava ad essere organizzata negli schemi deduttivi aristotelici era la matematica o meglio il ramo della matematica più approfondito dai greci cioè la geometria.  (In epoca classica, i greci non svilupparono molto aritmetica e algebra anche a causa di un sistema di notazione numerica complicato e impreciso).

Il frutto finale di questo lavoro furono gli "Elementi" di Euclide, in cui confluirono anche i risultati conseguiti da molti altri matematici precedenti.

Gli  "Elementi", nella storia della cultura occidentale e non solo (si pensi alla cultura araba), furono importantissimi non solo per i matematici ma per tutti gli studiosi intenzionati ad organizzare i risultati delle loro ricerche in schemi chiari e inconfutabili come quelli proposti da Euclide. Così come la Logica era stata un modello per la Geometria, la Geometria diventò un modello per la Logica ma in generale per qualunque scienza.

Ciò fu particolarmente vero per personaggi come W. G. Leibniz (sec. XVIII, contemporaneo di I. Newton) che oltre ad essere importante filosofo fu importante matematico e fisico. Il suo ideale, per risolvere le dispute politiche e morali che dividevano i suoi contemporanei, era di arrivare a matematizzare le questioni filosofiche in modo da giungere a risultati universali e inconfutabili come quelli ottenuti dalla Matematica.

Il programma di Leibniz fu ripreso e largamente attuato per la Logica, nel secolo successivo, dai britannici  A. De Morgan, cui si deve la formulazione delle leggi precedentemente ricordate, G. Boole, che per primo propose il formalismo oggi universalmente adottato di calcolo logico e largamente applicato allo hardware e al software dei computer, e J. Venn, che nel calcolo logico usò ampiamente i diagrammi che oggi ne portano il nome.

Nel XX secolo l'opera di B. Russel fa in un certo senso un percorso inverso a quello di Boole: dopo che questi ha matematizzato la Logica,  Russel, si impegnò nella logicizzazione dell'Aritmetica e dell'Algebra come unica via per fondarle e svilupparle in modo esente da contraddizioni. La sua influenza sui pensatori del secolo fu talmente ampia che tutto un gruppo di filosofi, denominato "Circolo di Vienna" (R. Carnap, O. Neurath e altri) lavorò intensamente alla logicizzazione di interi campi tradizionalmente appartenenti alla speculazione scientifica o filosofica.