L'insiemistica - I sottoinsiemi

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Gli insiemi finiti  sono insiemi che hanno una quantità di data di elementi. Al contrario invece, gli insiemi infiniti hanno una quantità illimitata di elementi.

Esempio di insieme finito: . Infinito:

Simbologia:

= Appartiene

= Non appartiene

= Insieme vuoto

Le rappresentazioni:

Per elencazione:

Per caratteristica:

Diagramma di Eulero-Venn.

A

I sottoinsiemi

Un sottoinsieme è un insieme che è contenuto in un altro insieme al quale si riferisce, vale a dire che l'insieme B è un sottoinsieme di A se tutti gli elementi presenti in B sono anche presenti in A.

E si scrive: B A.

Due insiemi si dicono uguali se sono composti dagli stessi elementi. Per esempio gli insiemi  
  e    sono uguali e si scrive: A = B .

Si parla, più propriamente, di inclusione stretta, per indicare che ogni elemento di B è anche elemento di A ma che esistono elementi di A che non sono elementi di B.
E si scrive:

Nel caso in cui tutti gli elementi di A appartengono anche a B si parla di sottoinsieme improprio (in altre parole ogni insieme è un sottoinsieme improprio di se stesso). Si parla di sottoinsieme proprio se almeno un elemento di A non è compreso nell'insieme B.

Le operazioni fra gli insiemi

L'intersezione di due insiemi A e B è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia all'insieme A che all'insieme B contemporaneamente.

E si scrive: A B.

L'unione di due insiemi A e B, invece, è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono all'insieme A o all'insieme B o a entrambi.

E si scrive A B.

Intersezioni ed unione godono della proprietà commutativa, associativa e distributiva.

La differenza fra due insiemi A e B è l'insieme costituito dagli elementi di A non appartenenti a B e si scrive A - B.

Il prodotto cartesiano fra due insiemi A e B, è un insieme costituito da coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene all'insieme A ed il secondo all'insieme B.

Il prodotto cartesiano non gode della proprietà commutativa.

L'insieme delle parti di un insieme A è un insieme costituito da tutti i sottoinsiemi propri ed impropri dell'insieme A, tale che il numero degli elementi sia 2ⁿ in cui n è il numero degli elementi dell'insieme A.

Si chiama partizione dell'insieme A un insieme di sottoinsiemi in cui ogni sottoinsieme non è vuoto, non hanno elementi in comune e l'unione dei sottoinsiemi è l'insieme A.

I numeri

I numeri naturali

L'insieme dei numeri naturali, chiamato , è l'insieme comprende i numeri interi positivi. I numeri naturali possono essere rappresentati attraverso una semiretta orientata la cui origine corrisponde al numero 0.

Le operazioni matematiche possibili in , sono al'addizioni e la moltiplicazioni. Sottrazione e divisione sono non sono considerate sempre possibili in quanto non sempre danno come risultato un numero naturale.

Il numero 0 è il cosiddetto elemento neutro nell'addizione mentre è l'elemento assorbente nella moltiplicazione. Il numero 1, al contrario, è neutro nella moltiplicazione ed assorbente nell'addizione.

Multipli e divisori

Un numero intero a è multiplo di un altro numero intero b se esiste un terzo numero intero c tale che moltiplicato per b da come risultato a, più brevemente

a è multiplo di b se e solo se esiste c tale che

Ad esempio 6 è multiplo di 2 perché esiste un terzo numero, il 3, per cui vale la relazione 6=2×3.

Ogni numero è multiplo di 1 e di se stesso.

Un numero, invece, è divisore di un altro se la divisione fra questo e il numero dato è esatta, ossia senza resto.

Le potenze

In matematica la potenza è un' operazione che associa ad una coppia di numeri a e n - detti rispettivamente base ed esponente - il numero dato dal prodotto di n fattori uguali ad a:

Le proprietà delle potenze sono le seguenti:

• Il prodotto di due, o più, potenze aventi la stessa base, è una potenza avente per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.

• Il quoziente di potenze aventi la stessa base è una potenza avente la stessa base dei fattori e come esponente la differenza tra l'esponente del dividendo e l'esponente del divisore

• La potenza di una potenza è una potenza in cui la base rimane la stessa e l'esponente è dato dal prodotto degli esponenti:

• Il quoziente di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi:

I numeri interi

Un altro importante insieme di numeri è l'insieme , di numeri interi. Esso è costituito dal l'insieme , dei numeri naturali, e dai numeri negativi, preceduti dal segno ‐ . Le operazioni possibili in sono l'addizione, la moltiplicazione e la sottrazione.

La rappresentazione dell'insieme , può essere fatta attraverso una retta orientata, in cui un punto qualsiasi appartenente ad essa corrisponda al numero 0 e i numeri che la precedono sono quelli negativi e quelli che la seguono quelli positivi.

Si dicono numeri concordi due numeri che hanno lo stesso segno e due numero opposti, due numeri che hanno segno diverso.

Il valore assoluto di un numero è il numero privato del segno. E si scrive: |a|.

Le operazioni in

La somma di due numeri concordi è un numero che ha per segno il segno dei due numeri e per valore assoluto la somma dei due numeri.

Invece la somma di due numeri discordi è un numero che ha per segno il segno del numero con valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza fra il numero che ha valore assoluto maggiore per quello che ha il valore assoluto minore. Gode della proprietà commutativa, associativa e l'elemento neutro è lo 0.

L a differenza di due numeri interi è la somma del minuendo per l'opposto del sottraendo. Gode come ogni sottrazione della proprietà invariantiva.

Il prodotto di due numeri intereri è un numero che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti e il segno positivo se i fattori sono concordi e negativo se discordi. Gode anch'essa delle proprietà dell'addizione, ma anche della proprietà distributiva.

Il quoziente due numeri, in cui il primo è multiplo del secondo, è un numero che ha per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti e il segno è positivo se i numeri sono concordi e negativo se discordi. La divisione non è una operazione interna dell'insieme

La potenza di un numero intero è un numero che ha per valore assoluto il la potenza del valore assoluto del numero e il segno è positivo se il numero è positivo e negativo se il numero è negativo e l'esponente della frazione è dispari.

Le frazioni

Una frazione è una coppia ordinata di numeri naturali, di cui il secondo è diverso da 0. Le frazioni corrispondono a l'insieme , dei numeri razionali.

Una frazione è costituita da un numeratore, al di sopra della linea di frazione e dal denominatore al di sotto.

La frazione indica propriamente il rapporto fra due numeri, in cui il numeratore è il divisore e il denominatore è il dividendo. Dunque non esiste una frazione con denominatore 0.

Si distinguono le frazione proprie, improprie, ed apparenti.

Le frazioni proprie sono quelle frazioni in cui il numeratore è minore del denominatore. Le frazioni, invece in cui il denominatore è minore del numerato resi chiamato frazioni improprie.

Le frazioni apparenti sono quelle frazioni in cui il numeratore è un multiplo del denominatore.

Due frazione equivalenti sono due frazioni in cui il prodotto del primo numeratore per il secondo denominatore è uguale al prodotto del primo denominatore e del secondo denominatore.

Essendo una divisione, le frazioni godono della proprietà invariantiva della divisione. Dunque moltiplicando o dividendo un numero sia per il numeratore che per il denominatore il risultato non cambia. La semplificazioni di una frazione ai suoi minimi termini consiste nell'applicazione della proprietà invariantiva affinché il numeratore e il denominatore siano primi fra loro.

Per sommare e sottrarre due frazioni è necessario che esse abbiano denominatore comune.

La riduzione di due o più frazioni a denominatore comune consiste innanzitutto nell'individuazione dell' m.c.m. dei denominatori e nella successiva applicazione della proprietà invariantiva.

Le operazioni in

Per effettuare la somma e la differenza fra due frazioni è necessario anzitutto ridurre le frazioni al minimo comun denominatore. Al risultato il numeratore sarà la somma o la differenza fra i due i numeratore e il denominatore, il denominatore comune.

Il prodotto e quoziente di due frazioni è una frazioni in cui numeratore e il denominatore sono rispettivamente il prodotto o il quoziente fra i numeratori e fra i denominatore.

Le potenze a esponente negativo equivalgono al reciproco della base elevato all'opposto dell'esponente.

La geometria euclidea

La geometria euclidea è la geometria che mette in evidenza l'aspetto razionale della geometria. E' chiamata così in quanto è basata dai cinque postulati di Euclide.

Gli elementi fondamentali della geometria euclidea sono il punto, la retta, ed il piano, chiamati enti primitivi, in quanto essi non necessitano di definizione perché sono accettati come noti.

Gli assiomi o postulati sono delle proprietà analoghe agli enti primitivi perché anche esse vengono accettate come vero. I postulati servono dunque per dimostrare i cosiddetti teoremi, costituito da due parti, l'ipotesi introdotta da "se" e la tesi introdotta da "allora". La tesi è appunto dimostrata dagli assiomi. Se in un teorema vengono scambiate l'ipotesi e la tesi, si ottiene il teorema inverso.

Se un teorema è l'immediata conseguenza di un altro allora quest'ultimo è chiamato corollario.

I postulati di appartenenza

I postulati di appartenenza sono i postulati che definiscono i legami fra gli enti geometrici; e sono:

Per due punti distinti di un piano passa una e una sola retta.

Su una retta ci sono almeno due punti.

Per ogni retta di un piano esiste almeno n punto, nel piano, che non la appartiene.

Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.

Fissati due punti in un piano, la retta passante per i due punti giace interamente sul piano.

Il postulato dell'ordine

Il postulato dell'ordine dice che:

La retta:

E' un insieme ordinato di punti;

Non esiste né un primo né un ultimo punto;

Fra due suoi punti esiste sempre almeno un punto.

Le parti della retta e le poligonali

La semiretta è una linea ricavata dividendo una retta in due parti. Il punto che divide la retta e che le appartiene si chiama punto d'origine e da esso parte la semiretta, proseguendo all'infinito

Un segmento, invece, è una parte di retta delimitata da due punti, detti estremi. Due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune e nessun altro punto. Due segmenti consecutivi sono adiacenti se appartengono alla stessa retta, l'uno opposto all'altro.

L'unione di due o più segmenti consecutivi porta ad una poligonale. La poligonale può essere aperta, se l'ultimo segmento non ha un origine in comune con il primo, o chiusa se invece ce l'ha.

Una poligonale può essere anche intrecciata, cioè se due segmenti non consecutivi ha un punto in comune.

Le parti del piano

Il postulato di partizione del piano da parte di una retta dice che: una retta giacente su un piano divide quest'ultimo in due semipiani tale che due punti che appartengono a diversi semipiani sono gli estremi di un segmento che interseca la retta e che due punti appartenenti allo stesso semipiano sono gli estremi di un segmento che non interseca la retta.

Il semipiano perciò è quella porzione di piano delimitata da una retta giacente sul piano stesso. La retta è chiamata origine del semipiano. Un angolo è ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette aventi la stessa origine giacenti sul piano. Le due semirette sono chiamati lati dell'angolo e l'origine delle semirette vertice dell'angolo.

Due angoli consecutivi sono due angoli che hanno un lato e l'origine in comune. Due angoli adiacenti sono due angoli consecutivi in cui le due semirette non comuni appartengono alla stessa retta. Un angolo piatto è un angolo i cui lati sono due semirette opposte. Un angolo giro è un angolo i cui lati sono due semirette coincidenti e che coincide con il piano. Un angolo convesso è un angolo che non contiene i prolungamenti dei lati, al contrario invece, un angolo concavo è un angolo che contiene i prolungamenti delle semirette.

In maniera analoga le figure concave sono figure che contengono almeno due punti che sono gli estremi di un segmento che non appartiene completamente alla figura.

Un figura convessa invece è una figura che non contiene nessuna coppia di punti che siano gli estremi di un segmento non appartenente completamente alla figura.

Le linee

Una linea piana o semplicemente curva è un insieme di punti ottenuti dal movimento continuo di un punto del piano. Un tratto di curva compreso fra due punti è chiamato arco e i due punti estremi.

Il segmento che unisce gli estremi di un arco sono la distanza fra due punti della linea piana.

Una linea può essere aperta, chiusa, intrecciato o no.

C'è sempre almeno una retta esterna ad una linea chiusa che non la interseca.

L'insieme di punti equidistanti ad un punto chiamato centro è chiamata circonferenza.

I punti interni alla circonferenza e la circonferenza stessa formano un cerchio.

Le operazioni con i segmenti e gli angoli

Due segmenti sono congruenti se sono sovrapponibili.

L'addizione di due segmenti si effettua muovendo i segmenti attraverso un movimento rigido in maniera tale che abbiamo un estremo in comune. La somma dei due segmenti è il segmento con estremi i punti non comuni dei segmenti. Un multiplo di un segmento A è un segmento ottenuto addizionando il segmento per sé stesso un determinato numero di volte.

Un punto medio di un segmento è un punto del segmento che lo dividi in due segmenti congruenti.

La differenza fra due segmenti si effettua muovendo i segmenti attraverso u n movimento rigido in maniera tale che abbiamo un estremo in comune. Il segmento differenza è quel segmento i cui estremi sono i gli estremi non comuni.

In maniera analoga si eseguono le operazioni fra gli angoli.

La somma di due angoli si ottiene riportando gli angoli in maniera tale che abbiano il vertice ed un lato in comune. L'angolo somma sarà quella parte di piano compresa fra i due lati non comuni.

La sottrazioni di due angoli invece si ottiene riportando i due angolo in maniera tale che abbiano un vertice in comune, ma che l'angolo minore sia interno a quello maggiore.

L'angolo differenza è quella parte di piano compresa fra le due semirette non comuni.

E' possibile anche fare confronti fra angoli.

Per determinare se un angolo è maggiore, minore o uguale ad un altro si riportano entrambi gli angoli nel piano in maniera tale che abbiano un lato in comune e che un angolo sia contenuto nell'altro.

L'angolo minore sarà quello contenuto interamente nell'altro.

Ogni angolo, come i segmenti, ha sempre dei multipli. Un multiplo di un angolo è un altro angolo ottenuto addizionando l'angolo per un numero naturale n > 1.

La bisettrice di un angolo è una semiretta avente origine nel vertice di un angolo e divide l'angolo in due parti congruenti.

La metà di un angolo piatto è un angolo retto, un angolo minore dell'angolo retto si chiama acuto, uno maggiore ottuso.

Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto, complementari se un angolo retto, esplementari se un angolo giro.