LA RICERCA OPERATIVA - TEORIA DELLE DECISIONI

In questa fase vengono individuate le variabili coinvolte e le condizioni a cui esse dipendono. Vengono individuate in particolare le variabili controllabili (dette anche d'azione) ovvero quelle di cui è noto e quantificabile il comportamento, e quelle non controllabili ovvero di cui non è possibile individuarne il comportamento se non in termini probabilistici, pur rimanendo comunque influenti.

Costruzione del modello matematico che riassuma le caratteristiche del problema.

Solitamente tale modello è espresso tramite una funzione di utilità che rappresenta il valore della prestazione del sistema. Essa è quindi rappresentata da una relazione del tipo U = f(x_i,y_j) dove x_i rappresenta la variabile controllabile mentre  y_j quella incontrollabile. Tali variabili sono poi soggette a vincoli esprimibili tramite equazioni e disequazioni nelle variabili controllabili x quali ad esempio i vincoli di non negatività detti anche di segno o quelli tecnici come l'indicazione di una quantità limitata di materia prima in un processo produttivo.

Analisi del modello matematico ed individuazione della soluzione ottimale

La soluzione ottimale è quella che rende massima o minima, a seconda dei casi, la funzione utilità. Essendo questo lo scopo di un problema RO tale funzione viene detta anche funzione obiettivo.

Verifica della bontà della soluzione

La funzione obiettivo può non risultare congrua per il miglioramento della situazione iniziale. Occorre quindi procedere ad una verifica della soluzione con eventuali modifiche del modello per renderlo più aderente alla situazione reale di riferimento.

TEORIA DELLE DECISIONI:

In relazione ai problemi di scelta, con particolare riferimento a tutto ciò che è legato all'economia possiamo fare una distinzione tra:

problemi di scelta in condizione di certezza

Relativi a situazioni dove le conseguenze di una scelta possono essere identificate a priori (es. trovare il minimo costo di trasporto di un determinato bene, tutte le condizioni sono note)

problemi di scelta in condizioni di incertezza

Non possiamo determinare a priori in modo esatto le conseguenze di una determinata scelta (es. decidere la quantità da produrre di un determinato bene, ipotesi probabilistica non sapendo le vendite del mese venturo)

In relazione al tempo in cui si producono gli effetti delle scelte:

problemi di scelta con effetti immediati

Es. scelta della quantità mensile di bene da produrre o materie prime da utilizzare in una determinata produzione; scelta a ricaduta breve

problema di massimo/minimo con funzione obiettivo lineare

" " massimo " " " non lineare

" " massimo " " " definita da più leggi

problemi di scelta con effetti differiti

Es. scelta del luogo dove costruire un nuovo stabilimento o di un nuovo macchinario da acquistare, scelte che ricadono anche nel lungo periodo

Nel caso discreto, a differenza di quello continuo, il risultato da trovare deve essere espresso in numero intero perciò se il minimo/massimo trovato non lo è occorre prendere in considerazione i due numeri interni estremi al risultato, trovarne la Z, il relativo minimo o massimo e la produzione relativa.

LA PROGRAMMAZIONE LINEARE

Se la funzione ed i relativi vincoli sono tutti costituiti da relazioni di tipo lineare, si parla di programmazione lineare

FUNZIONI REALI A DUE O PIU' VARIABILI:

disequazioni lineari

Graficamente: rette

disequazioni non lineari

Graficamente: parabole, ellissi, circonferenze

Sistemi di disequazioni

Una funzione reale di due variabili è una relazione che ad ogni coppia di numeri associa uno ed un solo numero reale

Es: z = f (x,y) dove (x,y) rappresenta l'insieme delle coppie ordinate (x,y) che hanno come corrispondente un solo numero reale z

Una funzione reale di più variabili reali è una relazione che ad ogni n di numeri reali associa uno ed un solo numero reale

Es: f: (x₁, x₂, .. x₃)

Insieme di esistenza delle funzioni a due variabili

Un polinomio esiste sempre

Una frazione esiste se il denominatore è diverso da zero

Un radicale di indice pari esiste se il suo argomento è positivo o nullo

Un logaritmo esiste se il suo argomento è positivo

Derivate parziali: della funzione f (x,y) nel punto Po (xo,yo) il limite del rapporto incrementale di f relativo al punto xo e all'incremento delta x

Es: f (x², y³) = f' 2x, 3y²

Es: f x2+y3/2x = 2x(y3) - (3y2)(x2)/2x2

Teorema di Schwarz: Se la funzione f(x,y) ha derivate seconde miste ovvero le derivate seconde della f calcolate prima rispetto ad una variabile poi rispetto all'altra, che sono continue in un insieme, allora esse si eguagliano.

Massimi e minimi: