Geometria Spaziale -definizioni e teoremi-

Postulato di ordinamento della retta:

1. La retta è un insieme ordinato di punti, non esiste né un primo né un ultimo punto e fra due suoi punti distinti esiste almeno un altro punto (una retta è costituita da infiniti punti)

Postulato di partizione del piano:

Se si considera una retta qualsiasi di un piano, essa divide l'insieme dei punti del piano che non le appartengono in due regioni, ciascuna delle quali si chiama semipiano, con le seguenti proprietà:

1. Due punti qualsiasi appartenenti alla stessa regione sono gli estremi di un segmento che non interseca la retta;
2. Due punti qualsiasi appartenenti a regioni diverse sono gli estremi di un segmento che interseca la retta.

La retta che limita un semi 757i85h piano si chiama origine del semipiano.

Postulato di partizione dello spazio:

Se si considera un piano qualsiasi dello spazio, esso divide l'insieme dei punti dello spazio che non gli appartengono in due regioni, ciascuna delle quali si chiama semispazio, con le seguenti proprietà:

1. Due punti qualsiasi appartenenti alla stessa regione sono gli estremi di un segmento che non interseca il piano;
2. Due punti qualsiasi appartenenti a regioni diverse sono gli estremi di un segmento che interseca il piano.

. e adesso si inizia!

Posizione di una retta rispetto ad un piano:

1. Una retta è parallela ad un piano quando non ha punti in comune con esso;

Posizione di due rette nello spazio:

2. Due rette sono complanari se esiste un piano che le contiene entrambe. Sono incidenti se si intersecano, parallele altrimenti;
3. Due rette sono sghembe se non sono contenute in un piano comune;

Posizione di due piani nello spazio:

4. Due piani distinti, aventi in comune un punto, hanno in comune una e una sola retta che passa per quel punto;
5. Due piano che non hanno punti in comune si dicono paralleli;
6. Per una retta nello spazio passano infiniti piani, che costituiscono un fascio di piani, la cui retta dicesi asse o sostegno;

Retta e piano perpendicolari:

7. Se una retta è perpendicolare in un suo punto a due rette che passano entrambe per quel punto, essa è pure perpendicolare a qualunque altra retta condotta per quello stesso punto e giacente nel piano delle prime due;

Quindi: Affinchè una retta sia perpendicolare ad un piano basta che sia perpendicolare a due rette del piano passanti per il punto d'intersezione tra la retta e il piano (CS)

8. Il luogo delle rette perpendicolari a una retta in un suo punto è un piano
9. Una retta si dice perpendicolare a un piano quando lo incontra ed è perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per il suo punto di intersezione con il piano, detto piede della perpendicolare;
10. Una retta, che interseca un piano senza essergli perpendicolare, si dice obliqua rispetto a quel piano;
11. Per un punto dato si può condurre un piano perpendicolare a una retta data e un solo;
12. Teorema delle tre perpendicolari: Se dal piede di una perpendicolare a un piano si conduce la perpendicolare a una qualunque retta del piano, quest'ultima risulta perpendicolare al piano individuato dalle prime due rette;
13. Dato un piano e un punto P qualunque, esiste sempre ed è unica la retta passante per P perpendicolare al piano dato;

Rette parallele nello spazio:

14. Due rette perpendicolari a uno stesso piano sono parallele;
15. Se due rette sono parallele, ogni piano che incontra una delle due incontra anche l'altra;
16. Se due rette sono parallele, ogni piano perpendicolare all'una è anche perpendicolare all'altra;
17. Due rette parallele a una terza sono parallele fra loro;

Proiezioni e angolo di una retta con un piano:

18. La proiezione di un punto sopra un piano è il piede della perpendicolare condotta dal punto al piano;
19. La proiezione di una figura su un piano è la figura costituita dalle proiezioni sopra il piano dei punti della figura data;
20. La proiezione di una retta sopra un piano, non perpendicolare ad essa, è una retta
21. Se da un punto P esterno a un piano si conducono il segmento perpendicolare al piano e diversi segmenti obliqui rispetto al piano stesso, si verificano le seguenti proprietà:

a)Il segmento perpendicolare è minore di qualunque segmento obliquo;

b)Due segmenti obliqui aventi proiezioni congruenti sono congruenti;

c) Due segmenti obliqui aventi proiezioni disuguali sono disuguali ed è maggiore quello che ha proiezione maggiore.

22. Il segmento di perpendicolare condotto da un punto a un piano si chiama distanza del punto dal piano;
23. Se una retta è obliqua rispetto a un piano, l'angolo acuto che essa forma con la sua proiezione sul piano è minore dell'angolo che tale retta forma con ogni altra retta del piano passante per il suo punto di intersezione con il piano stesso;
24. Si chiama angolo di una retta con un piano l'angolo acuto che la retta forma con la sua proiezione sopra il piano;

Retta e piano paralleli:

25. Una retta e un piano si dicono paralleli quando non hanno alcun punto in comune;
26. Se una retta passante per un punto esterno a un piano è parallela a una retta del piano, essa è parallela al piano
27. Una retta e un piano perpendicolari a una medesima retta in punti distinti, sono paralleli;

Piano paralleli:

28. Due piani distinti si dicono paralleli quando non hanno alcun punto in comune;
29. Due piano perpendicolari a una stessa retta in punti distinti sono paralleli;
30. Se due rette che si intersecano sono parallele ad un piano, il piano individuato dalle due rette è parallelo al piano dato;
31. Le intersezioni di due piani paralleli con un terzo piano sono rette parallele;
32. Se due piani sono paralleli, ogni retta che incontra uno dei due piani incontra anche l'altro;
33. Se due piani sono perpendicolari, ogni retta perpendicolare al primo è pure perpendicolare al secondo;
34. Due piani paralleli a un terzo sono paralleli fra loro;
35. Per un punto esterno a un piano si può condurre un piano, e uno solo, parallelo al piano dato;

Il teorema di Talete nello spazio:

36. Si dice fascio di piani paralleli l'insieme costituito da un piano e da tutti i piani a esso paralleli; ogni retta che non sia parallela ai piani del fascio e che perciò li incontri tutti, si dice trasversale del fascio;
37. Se, condotte due trasversali in un fascio di piani paralleli, a ogni segmento dell'una si fa corrispondere sull'altra il segmento intercettato dagli stessi due piani del fascio, i segmenti corrispondenti delle due trasversali costituiscono due classi di segmenti direttamente proporzionali;

Diedri:

38. La figura costituita da due semipiani aventi la stessa origine e da una delle due parti di spazio da essi limitata si chiama diedro. I semipiani si dicono facce del diedro e ne costituiscono il contorno, la retta si dice spigolo del diedro;
39. Dei due diedri formati da due semipiani distinti, quello che non contiene al suo interno il prolungamento delle sue facce si dice convesso; l'altro, che contiene internamente i detti prolungamenti, si dice concavo;
40. Due diedri distinti si dicono congruenti se si possono pensare come posizioni diverse di uno stesso diedro in movimento senza deformazione
41. Due diedri si dicono consecutivi quando sono disposti in modo che abbiano in comune soltanto uno spigolo e una faccia;
42. Due diedri si dicono adiacenti se sono consecutivi e le facce non comuni sono una il prolungamento dell'altra;
43. Due diedri consecutivi individuano un terzo diedro che si dice somma dei primi due;
44. Due diedri la cui somma sia un diedro piatto si dicono supplementari;
45. La sezione normale di un diedro è l'angolo ottenuto intersecando il diedro stesso con un piano perpendicolare allo spigolo;
46. Tutte le sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti;
47. Se due diedri hanno sezioni normali congruenti, sono congruenti, e viceversa, due diedri congruenti hanno sezioni normali congruenti;
48. Un diedro si dice piatto quando le sue due facce sono una il prolungamento dell'altra;
49. Un diedro si dice retto quando è la metà di un diedro piatto;
50. I diedri minori di un diedro retto si dicono acuti, quelli maggiori di un diedro retto e convessi si dicono ottusi;
51. Un diedro è retto, acuto, ottuso secondo che la sua sezione normale sia un angolo retto, acuto, ottuso e viceversa;
52. Due diedri si dicono complementari quando la loro somma è un diedro retto;

Piani perpendicolari:

53. Due piani sono perpendicolari quando intersecandosi formano quattro diedri congruenti;
54. Due piani sono obliqui quando intersecandosi formano diedri disuguali;
55. Se una retta è perpendicolare a un piano, qualunque piano passante per essa è perpendicolare al piano dato

Angoloidi:

56. Una superficie piramidale è una figura formata dagli angoli delle coppie di semirette distinte aventi la medesima origine e consecutive nello spazio;
57. La figura solida formata da una superficie piramidale e da tutti i suoi punti interni si chiama angoloide;
58. L'intersezione di un angoloide con un piano che ne tagli tutti gli spigoli e non passi per il vertice è un poligono
59. Un angoloide si dice triedro, tetraedro, pentaedro ecc. secondo che abbia tre, quattro, cinque... facce .
60. Ogni faccia di un triedro è minore della somma delle altre due e maggiore della loro differenza;
61. Ogni faccia di un angoloide è minore della somma di tutte le altre;
62. La somma delle facce di un triedro è minore di quattro angoli retti;
63. La somma delle facce di un angoloide è minore di quattro angoli retti;

Poliedri:

64. Una superficie poliedrica è la figura formata da più poligoni convessi situati in piani diversi e disposti in modo che ciascun lato sia comune a due di essi e che il piano di ogni poligono lasci tutti gli altri da una medesima parte;
65. Un poliedro è la figura formata da una superficie poliedrica e da tutti i suoi punti interni;
66. Una superficie prismatica è l'insieme di strisce di piano determinate da coppie di rette consecutive;
67. Un prisma indefinito è l'insieme dei punti di una superficie prismatica e dei suoi punti interni;
68. Le sezioni di un prisma indefinito con piani paralleli fra loro sono congruenti;
69. Il prisma finito è un solido costituito dalla parte di prisma indefinito compresa fra due sezioni parallele;
70. Si dice altezza di un prisma la distanza delle due basi;
71. Se gli spigoli laterali di un prisma non sono perpendicolari ai piani delle due basi, il prisma si dice obliquo;
72. Se gli spigoli laterali di un prisma sono perpendicolari ai piani delle due basi, il prisma si dice retto;
73. Un prisma si dice regolare se è retto e le sue basi sono poligoni regolari;
74. Il parallelepipedo è un prisma le cui basi sono due parallelogrammi;
75. Un parallelepipedo si dice retto, se i suoi spigoli sono perpendicolari ai piani delle basi;
76. Un parallelepipedo retto che ha per base un rettangolo si dice parallelepipedo rettangolo;
77. Un cubo è un parallelepipedo rettangolo le cui dimensioni sono uguali tra loro;
78. Consideriamo un angoloide e un piano, non passante per il vertice e non parallelo ad alcuno degli spigoli, che taglia l'angoloide in due parti. La parte così formata che contiene il vertice è detta piramide;
79. Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrivibile a un cerchio, il cui centro coincide con la proiezione del vertice sul piano di base;
80. In una piramide retta i segmenti congiungenti il vertice con i punti di contatto dei lati della base con la circonferenza inscritta sono le altezze delle facce laterali e sono congruenti fra loro.
81. Una piramide si dice regolare quando è retta ed ha per base un poligono regolare;
82. Se si taglia una piramide con un piano parallelo alla base:

a)  La base e la sezione sono poligoni simili;

b)  I lati e i perimetri di questi poligoni sono proporzionali alle distanza del loro piano dal vertice e le aree ai quadrati di queste distanze;

83. Se due piramidi hanno basi equivalenti e altezze congruenti, le sezioni parallele alle basi e da esse equidistanti sono equivalenti;
84. Tagliando una piramide con un piano parallelo alla base e non passante per il vertice, si divide la piramide in due parti, una delle quali è ancora una piramide e l'altra prende il nome di tronco di piramide;
85. Un tronco di piramide si dice retto se è retta la piramide a cui esso appartiene. Le basi sono entrambe poligoni circoscrivibili a una circonferenza;
86. Un tronco di piramide si dice regolare se è regolare la piramide a cui esso appartiene;
87. Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari tutti congruenti tra loro e i suoi angoloidi sono pure tutti congruenti tra loro;