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Esiste una formula
che permette di trovare tutte le terne pitagoriche?
Tutte le terne
pitagoriche possono essere generate utilizzando le seguenti formule:
a = m2 - n2
b = 2mn
c = m2 + n2
dove a, b, c costituiscono la terna pitagorica e m, n sono due numeri interi, con m>n.
Dobbiamo dimostrare
due fatti:
a) a, b, c costituiscono sempre una terna pitagorica, per qualun 818f52i que
valore di m ed n;
b) con le formule date si generano tutte le terne pitagoriche.
Le formule delle terne pitagoriche, di cui si trova traccia già nella matematica babilonese e che furono riprese da Diofanto sono molto semplici. Dati due numeri interi qualsiasi m e n, con m > n, si ha:
E' facile verificare che a² + b² = c² , infatti: a² + b² = (m² - n²)² + (2mn)² = m4 + n4 - 2m²n² + 4 m²n² = m4 + n4 + 2m²n² = (m² + n² )² = c² Le tre formule ci danno quindi tutte le possibili terne pitagoriche a, b e c, tali che a² + b² = c² . Si osservi che moltiplicando a, b e c per uno stesso numero, si ottiene ancora una terna pitagorica, infatti si ottiene ancora un triangolo rettangolo, simile al precedente. Ad esempio, dalla terna 3, 4 e 5 abbiamo 3 x 2, 4 x 2 e 5 x 2 = 6, 8
e 10 e queste sono ancora terne pitagoriche. Infatti Possiamo limitare la nostra ricerca a quelle che si chiamano terne primitive, cioè con a e b primi fra loro, partendo da valori di m e di n primi fra loro. Tutte le altre terne saranno semplicemente multiple di quelle trovate. Ci sono due casi particolari interessanti. Se n = m - 1 si ha b = c - 1 e quindi b e c risultano, in questo caso, numeri consecutivi, la differenza fra c e b sarà sempre uguale a 1. Ad esempio, con m = 2 e n = 1 la terna corrispondente è 3, 4 e 5. Con m = 3 e n = 2 si ha la terna 5, 12 e 13. Provi il lettore a dimostrare questa proprietà delle terne. Se invece si prende per m un valore qualsiasi e n costante, uguale a 1, si otterranno delle terne pitagoriche per le quali la differenza fra l'ipotenusa e il cateto maggiore sarà sempre uguale a 2. Ad esempio con m uguale a 6 e n uguale a 1 si ha la terna 12, 35 e 37. Osserviamo ancora che, in generale, la differenza fra il numero più grande e quello più piccolo della terna è uguale al quadrato della differenza fra i due numeri generatori. Ad esempio, con m = 5 n = 2 abbiamo la terna 20, 21 e 29. La differenza fra i due numeri generatori, m e n, è 3 e la differenza fra i due numeri è 29 - 20 = 9. La somma fra il numero più grande della terna e quello più piccolo è invece uguale al quadrato della somma dei due numeri generatori. Nel nostro esempio precedente abbiamo m + n = 5 + 2 = 7 e la somma dei due numeri è 29 + 20 = 49. |
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