Esiste una formula che permette di trovare tutte le terne pitagoriche?

Le formule delle terne pitagoriche, di cui si trova traccia già nella matematica babilonese e che furono riprese da Diofanto sono molto semplici. Dati due numeri interi qualsiasi m e n, con m > n, si ha:

E' facile verificare che a² + b² = c² , infatti:

a² + b² = (m² - n²)² + (2mn)² = m4 + n4 - 2m²n² + 4 m²n² = m4 + n4 + 2m²n² = (m² + n² )² = c²

Le tre formule ci danno quindi tutte le possibili terne pitagoriche a, b e c, tali che a² + b² = c² .

Si osservi che moltiplicando a, b e c per uno stesso numero, si ottiene ancora una terna pitagorica, infatti si ottiene ancora un triangolo rettangolo, simile al precedente. Ad esempio, dalla terna 3, 4 e 5 abbiamo

3 x 2, 4 x 2 e 5 x 2 = 6, 8 e 10
3 x 6, 4 x 6 e 5 x 6 = 18, 24 e 30

e queste sono ancora terne pitagoriche. Infatti

Possiamo limitare la nostra ricerca a quelle che si chiamano terne primitive, cioè con a e b primi fra loro, partendo da valori di m e di n primi fra loro. Tutte le altre terne saranno semplicemente multiple di quelle trovate.

Ci sono due casi particolari interessanti. Se n = m - 1 si ha b = c - 1 e quindi b e c risultano, in questo caso, numeri consecutivi, la differenza fra c e b sarà sempre uguale a 1. Ad esempio, con m = 2 e n = 1 la terna corrispondente è 3, 4 e 5. Con m = 3 e n = 2 si ha la terna 5, 12 e 13. Provi il lettore a dimostrare questa proprietà delle terne.

Se invece si prende per m un valore qualsiasi e n costante, uguale a 1, si otterranno delle terne pitagoriche per le quali la differenza fra l'ipotenusa e il cateto maggiore sarà sempre uguale a 2. Ad esempio con m uguale a 6 e n uguale a 1 si ha la terna 12, 35 e 37.

Osserviamo ancora che, in generale, la differenza fra il numero più grande e quello più piccolo della terna è uguale al quadrato della differenza fra i due numeri generatori. Ad esempio, con m = 5 n = 2 abbiamo la terna 20, 21 e 29. La differenza fra i due numeri generatori, m e n, è 3 e la differenza fra i due numeri è 29 - 20 = 9.

La somma fra il numero più grande della terna e quello più piccolo è invece uguale al quadrato della somma dei due numeri generatori. Nel nostro esempio precedente abbiamo m + n = 5 + 2 = 7 e la somma dei due numeri è 29 + 20 = 49.