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Esiste una formula che permette di trovare tutte le terne pitagoriche?

matematica



Esiste una formula che permette di trovare tutte le terne pitagoriche?
Tutte le terne pitagoriche possono essere generate utilizzando le seguenti formule:

a = m2 - n2

b = 2mn

c = m2 + n2

dove a, b, c costituiscono la terna pitagorica e m, n sono due numeri interi, con m>n.

Dobbiamo dimostrare due fatti:
a) a, b, c costituiscono sempre una terna pitagorica, per qualun 818f52i que valore di m ed n;
b) con le formule date si generano tutte le terne pitagoriche.

Le formule delle terne pitagoriche, di cui si trova traccia già nella matematica babilonese e che furono riprese da Diofanto sono molto semplici. Dati due numeri interi qualsiasi m e n, con m > n, si ha:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²



E' facile verificare che a² + b² = c² , infatti:

a² + b² = (m² - n²)² + (2mn)² = m4 + n4 - 2m²n² + 4 m²n² = m4 + n4 + 2m²n² = (m² + n² )² = c²

Le tre formule ci danno quindi tutte le possibili terne pitagoriche a, b e c, tali che a² + b² = c² .

Si osservi che moltiplicando a, b e c per uno stesso numero, si ottiene ancora una terna pitagorica, infatti si ottiene ancora un triangolo rettangolo, simile al precedente. Ad esempio, dalla terna 3, 4 e 5 abbiamo

3 x 2, 4 x 2 e 5 x 2 = 6, 8 e 10
3 x 6, 4 x 6 e 5 x 6 = 18, 24 e 30

e queste sono ancora terne pitagoriche. Infatti


Possiamo limitare la nostra ricerca a quelle che si chiamano terne primitive, cioè con a e b primi fra loro, partendo da valori di m e di n primi fra loro. Tutte le altre terne saranno semplicemente multiple di quelle trovate.

Ci sono due casi particolari interessanti. Se n = m - 1 si ha b = c - 1 e quindi b e c risultano, in questo caso, numeri consecutivi, la differenza fra c e b sarà sempre uguale a 1. Ad esempio, con m = 2 e n = 1 la terna corrispondente è 3, 4 e 5. Con m = 3 e n = 2 si ha la terna 5, 12 e 13. Provi il lettore a dimostrare questa proprietà delle terne.

Se invece si prende per m un valore qualsiasi e n costante, uguale a 1, si otterranno delle terne pitagoriche per le quali la differenza fra l'ipotenusa e il cateto maggiore sarà sempre uguale a 2. Ad esempio con m uguale a 6 e n uguale a 1 si ha la terna 12, 35 e 37.

Osserviamo ancora che, in generale, la differenza fra il numero più grande e quello più piccolo della terna è uguale al quadrato della differenza fra i due numeri generatori. Ad esempio, con m = 5 n = 2 abbiamo la terna 20, 21 e 29. La differenza fra i due numeri generatori, m e n, è 3 e la differenza fra i due numeri è 29 - 20 = 9.

La somma fra il numero più grande della terna e quello più piccolo è invece uguale al quadrato della somma dei due numeri generatori. Nel nostro esempio precedente abbiamo m + n = 5 + 2 = 7 e la somma dei due numeri è 29 + 20 = 49.





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