riflessiva: f ~ f

simmetrica: f ~ g g ~ f

transitiva: f ~ g e g ~ h f ~ h.

Scelta una funzione g(x) come infinito (o infinitesimo) campione, per x c, se risulta f ~ k g^a, con k costante 0, si dice che f è infinito (o infinitesimo) di ordine a rispetto a g, e che kg^a ne costituisce la parte principale. Usualmente si sceglie g(x) = x o g(x) = 1/x, a seconda dei casi.

Esempi:

a) per x

cos x ~ e^x ~ Ch x ~ 1

sin x ~ tg x ~ e^x - 1 ~ Sh x ~ Th x ~ log(1+x) ~ x

(1 + x)^1/2 -1 ~ x/2    (e, in generale, (1 + x)^a a x)

1 - cos x ~ Ch x - 1 ~ x²/2

p(x) = a xⁿ + b x^n-1 + . + k x^m ~ k x^m , monomio di grado minimo in p(x)(n > m 0; a, k

x - sin x ~ x³/6

(dunque rispetto all'infinitesimo g(x) = x, per x 0, sin x è un infinitesimo del primo ordine con parte principale x; 1 - cos x è un infinitesimo del secondo ordine con parte principale x²/2; 5x⁴ - 3x² è un infinitesimo del secondo ordine con parte principale - 3x²; x - sin x è un in 313e49d finitesimo del terzo ordine con parte principale x³/6, ecc.)

b) per x

p(x) = a xⁿ + b x^n-1 + . + k x^m ~ a xⁿ , monomio di grado massimo in p(x)

Ch x ~ Sh x ~ e^x /2

arctg x ~ p

p/2 - arctg x = arccotg x ~ 1/x

Th x ~ 1

(dunque rispetto all'infinito g(x) = x, per x , 5x⁴ - 3x² è un infinito del quarto ordine con parte principale 5x⁴; p/2 - arctg x è un infinitesimo del primo ordine con parte principale 1/x, ecc.)

c) per x

log x ~ (x-1)

sin (px) ~ (1-x)

Si noti che, nei precedenti esempi a)b)c), in ciascuna riga l'ultima espressione è assai più semplice delle altre. Ciò facilita molto il calcolo di limiti e, più in generale, lo studio del comportamento di una funzione nell'intorno di x = c, se si sfruttano opportunamente le seguenti proprietà (si intende che tutti i limiti sono per x c):

(in particolare f ~ k R lim f(x) = k). Si badi che f ~ 0 non ha significato!

Il reciproco non vale, in generale, se i limiti sono 0 oppure

Controesempio: f(x) = x , g(x) = x² per x 0 o per x hanno lo stesso limite (risp. 0 o ) ma non sono asintoticamente equivalenti.

(In un prodotto si può sostituire ciascun fattore con un altro asintoticamente equivalente)

Esempi:

per x log(1+x) ~ x , 1 - cos x ~ x² /2 log(1+x) · (1 - cos x) ~ x³ /2

per x

(si può elevare a potenza entrambi i membri di una relazione di equivalenza asintotica)

Esempi:

per x sin x ~ x sin³ x ~ x³ , (sin x) ~ x

per x x³ + 4x² ~ 4x² ~ (4x²) = 2 |x|

per x x³ + 4x² ~ x³ ~ (x³) = x^3/2

per x -4⁺ x³ + 4x² ~ 16(x+4) ~

(In un quoziente si può sostituire ciascun termine con un altro asintoticamente equivalente)

Esempi:

a) per x

sin x ~ x , 1 - cos x ~ x² /2, (1 - cos x)/ sin x ~ x/2

p(x) = a xⁿ + b x^n-1 + . + k x^m ~ k x^m ; P(x) = A x^r + B x^r-1 + . + K x^s ~ K x^s (k, K

p(x)/P(x) ~ (k/K) x^m-s,

e quindi p(x)/P(x) 0 se m>s, k/K se m=s, se m<s

b) per x

p(x) = a xⁿ + b x^n-1 + . + k x^m ~ k x^m ; P(x) = A x^r + B x^r-1 + . + K x^s ~ K x^s (a, A

p(x)/P(x) ~ (a/A) x^n-r ,

e quindi p(x)/P(x) se n>r, a/A se n=r, 0 se n<r

(si possono prendere i logaritmi di entrambi i membri di una equivalenza asintotica, purché - sostanzialmente - non tendano, o comunque si avvicinino, a 1)

Esempio: Ch x ~ e^x /2 per x log Ch x ~ log(e^x /2) = x - log 2 ~ x

Controesempio: x² ~ x per x 1, ma log x² = 2 log x non è ~ log x.

(si possono prendere gli esponenziali di entrambi i membri di una equivalenza asintotica, purché - sostanzialmente - non tendano, o comunque si avvicinino, a

Controesempio: 1+x ~ x per x , ma e^1+x / e^x e

(si possono eseguire cambiamenti di variabile in una equivalenza asintotica)

Esempi:

sin (x²) ~ x²    per x (b = 0, c = 0)

1-cos(3x)~9x²/2    per x (b = 0, c = 0)

log(1+5sin x) ~ 5x per x (b = 0, c = 0)

sin(1/x) ~ 1/x     per x (b = 0, c =

sin(x) = sin (p - x) ~ (p - x)  per x p (b = 0, c = p

log(cos x) = log(1+(cos x - 1)) ~ (cos x - 1) ~ -x²/2   per x (b = 0, c = 0)

8) In generale da f₁ ~ g₁ , f₂ ~ g₂ non segue f₁ ± f₂ ~ g₁ ± g₂.

Controesempio: f₁(x) = x, f₂(x) = sin x g₁(x) = x+x , g₂(x) = x per x 0: risulta

f₁ - f₂ = x - sin x ~ x³/6, che non è asintotico a g₁ - g₂ = x².

La somma algebrica si può eseguire solo se non corrisponde ad una semplificazione delle parti principali (nel controesempio: x). Nel dubbio si utilizzi correttamente la nozione di "o piccolo". La formula di Taylor consente di scoprire come è fatto questo "o piccolo"

Esempi:

per x sin x ~ x , log(1+x) ~ x log(1+3x) + sin 2x ~ 3x + 2x = 5x,

per x 1 - cos x ~ Ch x - 1 ~ x²/2 Ch x - cos x ~ x²/2 + x²/2 = x²

per x ~ x + x ~ 2x,    mentre - x non si può trattare così semplicemente, ma richiede un passaggio in più. Raccogliendo la potenza di grado massimo nel radicando, e sfruttando l'equivalenza asintotica

(1 + t)^a a t con a = 1/2 e t = -1/x si ha: - x = x ~ x/2 (- 1/x) = - ½ . Si noterà che questo modo di procedere funziona altrettanto bene con radici di ordine qualsiasi, con le quali non si può usare la tecnica di "razionalizzare alla rovescia", moltiplicando e dividendo per la somma (+ x). Ad es., - x ~ x (1/5) (- 1/x⁴) = - 1/(5x³), mentre - x ~

~ x (1/5) (- 1/x) = - 1/5.

9) f ~ g , g > 0 " e > un intorno di c in cui valgono le disuguaglianze:

e) g(x) < f(x) < e) g(x). Se g < 0, si ha analogamente (1+e) g(x) < f(x) < e) g(x).
Queste disuguaglianze significano che il grafico di f(x), in un intorno di c, è compreso tra quelli di (1-e) g(x) e di (1+e) g(x). L'osservazione è molto significativa quando g(x) 0 per x c.

Simbolo di rapporto infinitesimo ("o piccolo")

Siano f e g come nel paragrafo precedente. Si dice allora che f è "o piccolo" di g (per x c), e si scrive f(x) = o(g(x)), oppure brevemente, f = o(g), se avviene che:

.

La relazione di "o piccolo" non è una relazione di equivalenza non essendo riflessiva (difatti f = o(f) è sempre falsa). Inoltre essa non è né simmetrica né antisimmetrica (le due relazioni f = o(g) e g = o(f) sono fra loro incompatibili). Vale soltanto la proprietà transitiva: f = o(g) e g = o(h) f = o(h).

Si noti che, nonostante la scrittura f = o(g), "o" non è una funzione, ma solo un simbolo indicante un ordine di grandezza.

Valgono inoltre le seguenti proprietà:

f = o(1) lim f(x) = 0

1 = o(g) lim g(x) =

f = g + o(h) significa f - g = o(h)

f ~ g f = g + o(g) f - g = o(g)

g + o(g) ~ g

f = o(g), g ~ h f = o(h)

f o(g) = o(f g)

k costante o(kg) = o(g)

Esempi:

a) per x

x³ = o(x²)    x² = o(x) x = o(1) 1 = o(1/x) .

e, in generale, x^b = o(x^a), a < b reali (anche negativi!)

nel polinomio p(x) = a xⁿ + b x^n-1 + . + k x^m tutti i termini sono "o piccolo" di quello con la potenza minore

log x = o(1/x)   (equivale a x log(x) = o(1), cioè x log(x)

b) per x

1/x² = o(1/x)    1/x = o(1) 1 = o(x) x = o(x²) x² = o(x³) .

e, in generale, x^a = o(x^b), a < b reali (anche negativi!)

nel polinomio p(x) = a xⁿ + b x^n-1 + . + k x^m tutti i termini sono "o piccolo" di quello con la potenza maggiore

e^-x = o(1/xⁿ)    " n > 0 o, equivalentemente, xⁿ = o(e^x)

log x = o(x^a) " a > 0

log (log x) = o(log x) log (log (log x)) = o(log (log x)) ..

e^-2x = o(e^-x)   " a R

Applicazioni

A) Calcolo di limiti e grafico di funzioni

Si ricorda che le funzioni y = x^a per x 0⁺ presentano tangente verticale se 0 < a < 1, orizzontale se 1 < a. Prolungate a sinistra dell'origine in modo simmetrico rispetto all'asse y (rendendole cioè funzioni pari) tramite y = |x|^a, esse presentano, per 0 < a < 1, una cuspide a tangente verticale. Prolungate in modo simmetrico rispetto all'origine (funzioni dispari) tramite la posizione y = |x|^a sgn(x), esse presentano, per 0 < a < 1, un flesso a tangente verticale. Si ricorda inoltre che y = |x| presenta nell'origine un punto angoloso.

(Se a è un esponente razionale, a = p/q, con q dispari, le funzioni sono già definite per x < 0 e risultano pari se p è pari, dispari se p è dispari). Lo stesso comportamento avrà dunque una funzione asintoticamente equivalente ad una potenza con esponente a

Per x

1)

2)    (per x