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Equivalenza asintotica e "o piccolo" - Equivalenza asintotica

matematica


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Equivalenza asintotica e "o piccolo"





Equivalenza asintotica

Siano f e g due funzioni definite in un intorno di c (finito o infinito), e sia g(x) 0 in tale intorno, pri­vato al più di c. Si dice allora che f è asintotica a g per x c , e si scrive f ~ g (per x c), se ri­sul­ta:

.

La specificazione "per x c" può essere sottintesa ove non dia luogo ad equivoci.

La relazione di equivalenza asintotica è una relazione di equivalenza; ciò significa che soddisfa le proprietà:




riflessiva: f ~ f

simmetrica: f ~ g g ~ f

transitiva: f ~ g e g ~ h f ~ h.


Scelta una funzione g(x) come infinito (o infinitesimo) campione, per x c, se risulta f ~ k ga, con k costante 0, si dice che f è infinito (o infinitesimo) di ordine a rispetto a g, e che kga ne costituisce la parte principale. Usualmente si sceglie g(x) = x o g(x) = 1/x, a seconda dei casi.


Esempi:


a) per x

cos x ~ ex ~ Ch x ~ 1

sin x ~ tg x ~ ex - 1 ~ Sh x ~ Th x ~ log(1+x) ~ x

(1 + x)1/2 -1 ~ x/2    (e, in generale, (1 + x)a a x)

1 - cos x ~ Ch x - 1 ~ x2/2

p(x) = a xn + b xn-1 + . + k xm ~ k xm , monomio di grado minimo in p(x)(n > m 0; a, k

x - sin x ~ x3/6


(dunque rispetto all'infinitesimo g(x) = x, per x 0, sin x è un infinitesimo del primo ordine con parte principale x; 1 - cos x è un infinitesimo del secondo ordine con parte principale x2/2; 5x4 - 3x2 è un infinitesimo del secondo ordine con parte principale - 3x2; x - sin x è un in 313e49d finitesimo del terzo ordine con parte principale x3/6, ecc.)


b) per x

p(x) = a xn + b xn-1 + . + k xm ~ a xn , monomio di grado massimo in p(x)

Ch x ~ Sh x ~ ex /2

arctg x ~ p

p/2 - arctg x = arccotg x ~ 1/x

Th x ~ 1


(dunque rispetto all'infinito g(x) = x, per x , 5x4 - 3x2 è un infinito del quarto ordine con parte principale 5x4; p/2 - arctg x è un infinitesimo del primo ordine con parte principale 1/x, ecc.)


c) per x

log x ~ (x-1)

sin (px) ~ (1-x)


Si noti che, nei precedenti esempi a)b)c), in ciascuna riga l'ultima espressione è assai più semplice delle altre. Ciò facilita molto il calcolo di limiti e, più in generale, lo studio del comportamento di una funzione nell'intorno di x = c, se si sfruttano opportunamente le seguenti proprietà (si intende che tutti i limiti sono per x c):


f ~ g ed lim f(x) (o lim g(x))                lim f(x) = lim g(x)


(in particolare f ~ k R lim f(x) = k). Si badi che f ~ 0 non ha significato!

Il reciproco non vale, in generale, se i limiti sono 0 oppure


Controesempio: f(x) = x , g(x) = x2 per x 0 o per x hanno lo stesso limite (risp. 0 o ) ma non sono asintoticamente equivalenti.


f1 ~ g1 , f2 ~ g2 f1 f2 ~ g1 g2

(In un prodotto si può sostituire ciascun fattore con un altro asintoticamente equivalente)


Esempi:

per x log(1+x) ~ x , 1 - cos x ~ x2 /2 log(1+x) · (1 - cos x) ~ x3 /2

per x


f ~ g f a ~ g a (a R ( per a

(si può elevare a potenza entrambi i membri di una relazione di equivalenza asintotica)


Esempi:

per x sin x ~ x sin3 x ~ x3 , (sin x) ~ x

per x x3 + 4x2 ~ 4x2 ~ (4x2) = 2 |x|

per x x3 + 4x2 ~ x3 ~ (x3) = x3/2

per x -4+ x3 + 4x2 ~ 16(x+4) ~


f1 ~ g1 , f2 ~ g2 f1 / f2 ~ g1 / g2

(In un quoziente si può sostituire ciascun termine con un altro asintoticamente equivalente)


Esempi:

a) per x

sin x ~ x , 1 - cos x ~ x2 /2, (1 - cos x)/ sin x ~ x/2

p(x) = a xn + b xn-1 + . + k xm ~ k xm ; P(x) = A xr + B xr-1 + . + K xs ~ K xs (k, K

p(x)/P(x) ~ (k/K) xm-s,



e quindi p(x)/P(x) 0 se m>s, k/K se m=s, se m<s


b) per x

p(x) = a xn + b xn-1 + . + k xm ~ k xm ; P(x) = A xr + B xr-1 + . + K xs ~ K xs (a, A

p(x)/P(x) ~ (a/A) xn-r ,

e quindi p(x)/P(x) se n>r, a/A se n=r, 0 se n<r

f ~ g loga f ~ loga g

se f discosta da 1 (cioè |f-1| k > 0) in un intorno di c , f(x) > 0, a > 0, a

(si possono prendere i logaritmi di entrambi i membri di una equivalenza asintotica, purché - sostanzialmente - non tendano, o comunque si avvicinino, a 1)


Esempio: Ch x ~ ex /2 per x log Ch x ~ log(ex /2) = x - log 2 ~ x

Controesempio: x2 ~ x per x 1, ma log x2 = 2 log x non è ~ log x.


f ~ g af ~ ag

se f è limitata nell'intorno di c , (a > 0).

(si possono prendere gli esponenziali di entrambi i membri di una equivalenza asintotica, purché - sostanzialmente - non tendano, o comunque si avvicinino, a


Controesempio: 1+x ~ x per x , ma e1+x / ex e


f(t) ~ g(t) per t b, h(x) b per x c, (con h(x) b per x c) f(h(x)) ~ g(h(x)) per x c.

(si possono eseguire cambiamenti di variabile in una equivalenza asintotica)


Esempi:

sin (x2) ~ x2                                        per x (b = 0, c = 0)

1-cos(3x)~9x2/2                                per x (b = 0, c = 0)

log(1+5sin x) ~ 5x                             per x (b = 0, c = 0)

sin(1/x) ~ 1/x                                     per x (b = 0, c =

sin(x) = sin (p - x) ~ (p - x)              per x p (b = 0, c = p

log(cos x) = log(1+(cos x - 1)) ~ (cos x - 1) ~ -x2/2           per x (b = 0, c = 0)


8) In generale da f1 ~ g1 , f2 ~ g2 non segue f1 ± f2 ~ g1 ± g2.


Controesempio: f1(x) = x, f2(x) = sin x g1(x) = x+x , g2(x) = x per x 0: risulta

f1 - f2 = x - sin x ~ x3/6, che non è asintotico a g1 - g2 = x2.


La somma algebrica si può eseguire solo se non corrisponde ad una semplificazione delle parti principali (nel controesempio: x). Nel dubbio si utilizzi correttamente la nozione di "o piccolo". La formula di Taylor consente di scoprire come è fatto questo "o piccolo"

Esempi:

per x sin x ~ x , log(1+x) ~ x log(1+3x) + sin 2x ~ 3x + 2x = 5x,

per x 1 - cos x ~ Ch x - 1 ~ x2/2 Ch x - cos x ~ x2/2 + x2/2 = x2

per x ~ x + x ~ 2x,    mentre - x non si può trattare così semplicemente, ma richiede un passaggio in più. Raccogliendo la potenza di grado massimo nel radicando, e sfruttando l'equivalenza asintotica

(1 + t)a a t con a = 1/2 e t = -1/x si ha: - x = x ~ x/2 (- 1/x) = - ½ . Si noterà che questo modo di procedere funziona altrettanto bene con radici di ordine qualsiasi, con le quali non si può usare la tecnica di "razionalizzare alla rovescia", moltiplicando e dividendo per la somma (+ x). Ad es., - x ~ x (1/5) (- 1/x4) = - 1/(5x3), mentre - x ~

~ x (1/5) (- 1/x) = - 1/5.


9) f ~ g , g > 0 " e > un intorno di c in cui valgono le disuguaglianze:

e) g(x) < f(x) < e) g(x). Se g < 0, si ha analogamente (1+e) g(x) < f(x) < e) g(x).
Queste disuguaglianze significano che il grafico di f(x), in un intorno di c, è compreso tra quelli di (1-
e) g(x) e di (1+e) g(x). L'osservazione è molto significativa quando g(x) 0 per x c.

Simbolo di rapporto infinitesimo ("o piccolo")


Siano f e g come nel paragrafo precedente. Si dice allora che f è "o piccolo" di g (per x c), e si scrive f(x) = o(g(x)), oppure brevemente, f = o(g), se avviene che:

.

La relazione di "o piccolo" non è una relazione di equivalenza non essendo riflessiva (difatti f = o(f) è sempre falsa). Inoltre essa non è né simmetrica né antisimmetrica (le due relazioni f = o(g) e g = o(f) sono fra loro incompatibili). Vale soltanto la proprietà transitiva: f = o(g) e g = o(h) f = o(h).

Si noti che, nonostante la scrittura f = o(g), "o" non è una funzione, ma solo un simbolo indicante un ordine di grandezza.

Valgono inoltre le seguenti proprietà:


f = o(1) lim f(x) = 0

1 = o(g) lim g(x) =




f = g + o(h) significa f - g = o(h)

f ~ g f = g + o(g) f - g = o(g)

g + o(g) ~ g

f = o(g), g ~ h f = o(h)


f o(g) = o(f g)

k costante o(kg) = o(g)


Esempi:

a) per x

x3 = o(x2)    x2 = o(x) x = o(1) 1 = o(1/x) .

e, in generale, xb = o(xa), a < b reali (anche negativi!)

nel polinomio p(x) = a xn + b xn-1 + . + k xm tutti i termini sono "o piccolo" di quello con la potenza minore

log x = o(1/x)                       (equivale a x log(x) = o(1), cioè x log(x)


b) per x

1/x2 = o(1/x)            1/x = o(1) 1 = o(x) x = o(x2) x2 = o(x3) .

e, in generale, xa = o(xb), a < b reali (anche negativi!)

nel polinomio p(x) = a xn + b xn-1 + . + k xm tutti i termini sono "o piccolo" di quello con la potenza maggiore

e-x = o(1/xn)            " n > 0 o, equivalentemente, xn = o(ex)

log x = o(xa) " a > 0

log (log x) = o(log x) log (log (log x)) = o(log (log x)) ..

e-2x = o(e-x)   " a R

Applicazioni


A) Calcolo di limiti e grafico di funzioni


Si ricorda che le funzioni y = xa per x 0+ presentano tangente verticale se 0 < a < 1, orizzontale se 1 < a. Prolungate a sinistra dell'origine in modo simmetrico rispetto all'asse y (rendendole cioè funzioni pari) tramite y = |x|a, esse presentano, per 0 < a < 1, una cuspide a tangente verticale. Prolungate in modo simmetrico rispetto all'origine (funzioni dispari) tramite la posizione y = |x|a sgn(x), esse presentano, per 0 < a < 1, un flesso a tangente verticale. Si ricorda inoltre che y = |x| presenta nell'origine un punto angoloso.

(Se a è un esponente razionale, a = p/q, con q dispari, le funzioni sono già definite per x < 0 e risultano pari se p è pari, dispari se p è dispari). Lo stesso comportamento avrà dunque una funzione asintoticamente equivalente ad una potenza con esponente a


Per x

1)


2)        (per x


3) Se ne deduce non solo che tale funzione tende a 0, ma anche che il suo grafico presenta nell'origine un flesso orizzontale discendente (vedi figura).








4)


f(x) = per x 0 è ~ -x1/3, ed ha quindi un flesso verticale nell'o­ri­gi­ne (con derivata "- "). Analogamente per x 1 risulta f ~ [2(x-1)]1/3 e per x -1 risulta f ~ [2(x+1)]1/3.      Dunque anche in ±1 vi sono dei flessi verticali. Per x è invece f ~ x, f - x = = x ~ x (- 1/2x2) = = - 1/2x 0, dunque f presenta l'asintoto obliquo y = x.














5)


f(x) = . Tenendo conto delle equivalenze già indicate al punto 3) di pag. 2, si ha il grafico in figura.








B) Asintoto obliquo


La linea di equazione y = f(x) ammette la retta y = mx + q (m 0) come asintoto obliquo (per x ) se risulta f(x) = mx + q + o(1) (per x ). Si ha pertanto f(x) ~ mx + q ~ mx, da cui


m = lim f(x)/x q = lim [f(x) - mx]


Risulta pure, per la regola di De L'Hôpital, m = lim f '(x) (se tale limite esiste).                                 

È improprio scrivere f(x) ~ mx + q , dato che tale espressione equivale solo a f(x) = mx + o(x).

(Controesempi: f = x + log x; f = x + sin x che non presentano asintoti obliqui pur essendo ~ x).


C) Formula di Taylor


Sia f continua in un intorno di c con tutte le sue derivate fino all'ordine n [risp. (n+1)]. Allora valgono le seguenti relazioni, che traducono la cosiddetta formula di Taylor (con il resto di Peano)


f(x) = f (k)(c) (x-c)k /k! + o[(x-c)n ]

f(x) - f (k)(c) (x-c)k /k! ~ f (n+1)(c) (x-c) n+1/(n+1)! (se f (n+1) (c) 0).







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