EQUAZIONI DI 2° GRADO

j    SPURIA quando è del tipo Ax²+Bx=0

x₁=0

x(Ax+B)=0

Ax+B=0 x₂=-B/A

NB: non abbiamo bisogno di discutere perché abbiamo già imposto A

j    PURA quando è del tipo Ax²+C=0

se -C/A> x= -C/A

Ax²+C=0 Ax²=-C x²=-C/A

se -C/A< 2 sol. C

j    COMPLETA quando sono presenti tutti i termini.

Ax²+Bx+C=0

Portiamo C al secondo membro, per il principio del trasporto

Ax²+Bx=-C

Moltiplichiamo entrambe i membri per 4 volte A

4A²x²+4ABx=-4AC

Aggiungiamo il quadrato del secondo coefficiente (B²)

4A²x²+4ABx+B²=B²-4AC

E quindi raccogliendo

(2Ax+B)²=B²-4AC D

Ora dobbiamo discutere in quanto (2Ax+B)² è positivo e quindi, dovendo fare un'uguaglianza, devo verificare se anche il secondo membro è positivo oppure nullo o negativo.

se D> vi sono 2 soluzioni reali e distinte

2Ax+B= B²-4AC

2Ax=-B B²-4AC

x₁= -B+

x_1/2= -B B²-4AC = 2A

2A x₂= -B-

2A

se D vi sono 2 soluzioni reali e coincidenti

(2Ax+B)²=0

(2Ax+B)(2Ax+B)=0 x=-B/2A

se D< non ci sono soluzioni nel campo dei numeri reali, l'equazione

ammette 2 soluzioni complesse e coniugate x R

FORMULA BREVE_si usa quando il coefficiente del termine di 2°grado è pari.

x_1/2=  -B/2 (B/2)²-AC

A

In una equazione di 2°grado, ridotta a forma normale e a discriminante non negativo:

T La somma delle radici è uguale al rapporto tra 1° e 2° coefficiente

x₁+x₂=-B/A

infatti.

-B+ D + -B- D = -2B = -B

2A 2A 2A A

T Il prodotto delle radici è uguale al rapporto tra il termine noto e il 1° coefficiente

x₁*x₂=C/A

infatti.

-B+ D -B- D = B²-D = B²-B²-4AC = C

2A 2A 4A² 4A² A

TEOREMA DI CARTESIO

In un'equazione di 2°grado ridotta a forma normale e con discriminante positivo:

a)       ad ogni variazione presentata dai suoi coefficienti corrisponde una radice positiva

b)       a ogni permanenza corrisponde una radice negativa

c)       .se nell'equazione la variazione precede la permanenza ha maggiore valore assoluto la radice positiva

.se nell'equazione la permanenza precede la variazione ha

maggior valore assoluto la radice negativa

1°caso A+ B+ C+

2°caso A+ B- C+

3°caso A+ B- C-

4°caso A+ B+ C-