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EQUAZIONI DI 2° GRADO

matematica




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EQUAZIONI DI 2° GRADO


Si dice che un equazione è di 2° grado quando ridotta a forma normale è del tipo:

Ax2+Bx+C=0 con A 0 s


Secondo il teorema fondamentale dell'algebra, le equazioni di grado n, ammettono n soluzioni nel campo dei numeri complessi.



Quindi l'equazione di 2° grado ammette 2 soluzioni.


Un'equazione di 2° grado si dice:


j    SPURIA quando è del tipo Ax2+Bx=0

x1=0

x(Ax+B)=0

Ax+B=0 x2=-B/A


NB: non abbiamo bisogno di discutere perché abbiamo già imposto A


j    PURA quando è del tipo Ax2+C=0

se -C/A> x= -C/A

Ax2+C=0 Ax2=-C x2=-C/A

se -C/A< 2 sol. C









j    COMPLETA quando sono presenti tutti i termini.


Ax2+Bx+C=0

Portiamo C al secondo membro, per il principio del trasporto

Ax2+Bx=-C

Moltiplichiamo entrambe i membri per 4 volte A

4A2x2+4ABx=-4AC

Aggiungiamo il quadrato del secondo coefficiente (B2)

4A2x2+4ABx+B2=B2-4AC

E quindi raccogliendo

(2Ax+B)2=B2-4AC D


Ora dobbiamo discutere in quanto (2Ax+B)2 è positivo e quindi, dovendo fare un'uguaglianza, devo verificare se anche il secondo membro è positivo oppure nullo o negativo.

se D> vi sono 2 soluzioni reali e distinte

2Ax+B= B2-4AC

2Ax=-B B2-4AC


x1= -B+


x1/2= -B B2-4AC = 2A


2A x2= -B-

2A


se D vi sono 2 soluzioni reali e coincidenti



(2Ax+B)2=0

(2Ax+B)(2Ax+B)=0 x=-B/2A


se D< non ci sono soluzioni nel campo dei numeri reali, l'equazione

ammette 2 soluzioni complesse e coniugate x R



FORMULA BREVE_si usa quando il coefficiente del termine di 2°grado è pari.



x1/2=  -B/2 (B/2)2-AC

A


In una equazione di 2°grado, ridotta a forma normale e a discriminante non negativo:


T La somma delle radici è uguale al rapporto tra 1° e 2° coefficiente

x1+x2=-B/A

infatti.

-B+ D + -B- D = -2B = -B


2A 2A 2A A

T Il prodotto delle radici è uguale al rapporto tra il termine noto e il 1° coefficiente

x1*x2=C/A

infatti.


-B+ D -B- D = B2-D = B2-B2-4AC = C

2A 2A 4A2 4A2 A


TEOREMA DI CARTESIO

In un'equazione di 2°grado ridotta a forma normale e con discriminante positivo:

a)       ad ogni variazione presentata dai suoi coefficienti corrisponde una radice positiva

b)       a ogni permanenza corrisponde una radice negativa

c)       .se nell'equazione la variazione precede la permanenza ha maggiore valore assoluto la radice positiva

.se nell'equazione la permanenza precede la variazione ha

maggior valore assoluto la radice negativa

1°caso A+ B+ C+

2°caso A+ B- C+

3°caso A+ B- C-

4°caso A+ B+ C-


Si dice PARAMETRICA un'equazione avente almeno un coefficiente dipendente da una o più lettere, detti parametri.




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