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DEFINIZIONE DI INTEGRALE INDEFINITO

matematica




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DEFINIZIONE DI INTEGRALE INDEFINITO

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo A, la funzione F(x) si dice primitiva della f(x)

se, per ogni x di A, F(X) è derivabile e risulta

F'(x) = f(x)


Trovata una primitiva della funzione, tute le altre si ottengono aggiungendo una costante, 929f51j

ossia F(x) + c  esprime, al variare di c, tutte le primitive di f(x).


L'insieme formato da tutte le primitive di f(x), si chiama integrale indefinito della funzione f(x)

e si indica


La funzione f(x) si dice funzione integranda, dx indica la variabile rispetto alla quale si cerca la primitiva


Da quanto detto al punto 2. si ha


Da quanto detto al punto 1. si ha


Integrale definito


Sia f(x) una funzione continua nell'intervallo ]a,b[  F(x) una primitiva della f(x)

si ha

Questa formula è una conseguenza del teorema fondamentale del calcolo integrale (teorema di Torricelli)

viene chiamata formula di Newton - Leibnitz.




Dal punto di vista operativo, per calcolare l'integrale definito di una funzione f(x)

si deve determinare un integrale indefinito e calcolare la differenza tra i valori che l'integrale assume agli estremi dell'intervallo di integrazione


Significato geometrico dell'integrale definito

Nel disegno, f(x) è positiva per ogni x

dell'intervallo [a,b].

Il valore dell'integrale definito da a a b

corrisponde alla misura della superficie racchiusa dalla curva y=f(x), dall'asse x e dalle rette di equazione x=a, x=b.

Questo tipo di superficie viene chiamata

trapezoide o trapezio curvilineo.


Nel disegno, f(x) assume valori positivi e valori negativi.

Il valore dell'integrale definito corrisponde

alla somma algebrica

delle due aree che si trovano sopra e sotto l'asse delle x:

la prima regione risulta positiva, la seconda negativa.


Per calcolare l'area della regione piana

delimitata da due curve f(x) e g(x)

continue nell'intervallo [a,b]

si può applicare la seguente formula








DERIVATE E INTEGRALI ELEMENTARI

Nella tabella si è messo in evidenza il legame tra derivata e integrale






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