CENNI DI RELATIVITA' GENERALE - PROBLEMA: Falla della teoria di Newton

PROBLEMA: Falla della teoria di Newton

I due sistemi non sono equivalenti: uno è fermo, uno ruota. Un sistema ruota rispetto all'altro con velocità angolare omega. La massa posta a distanza R dall'origine comune è ferma per un osservatore, in moto circ 919j91j olare uniforme per l'altro. Il sistema che ruota si ritiene fermo e M ha un moto circolare uniforme. Per quest'ultimo esiste una forza centripeta di modulo pari a M(omega^2)R.

Si tratta di una "forza fittizia" o "apparente", che si genera semplicemente ruotando il riferimento. E' una forza fittizia perchè si sa che non è il sistema ad essere fermo. Esse si distinguono dalle forze ordinarie perché violano il 3° Principio della dinamica, il principio di azione e reazione. Le forze ordinarie si presentano in natura sempre a coppie. Alla forza che il Sole esercita sul pianeta Terra corrisponde una forza identica, solo opposta in verso, che la Terra esercita sul Sole. Al contrario, le forze apparenti si presentano da sole, in aperta violazione del terzo principio. Per risolvere lo spinoso problema, Newton ipotizzò l'esistenza dello spazio assoluto, inteso come entità distinta e separata dalla materia: se anche tutta la materia dovesse scomparire, rimarrebbe comunque lo spazio assoluto, una specie di teatro dei fenomeni. Ma le forze fittizie possono avere effetti: la Terra è schiacciata ai poli da una forza fittizia. Queste forze non reagiscono al principio di azione-reazione. E' lo spazio assoluto a compensare la forza perchè, secondo Newton, se un oggetto si muove nello spazio assoluto con accellerazione, questo interagisce e si generano forze apparenti come reazione al nostro movimento. Delle modifiche sullo spazio però non ci si può accorgere perchè è infinito e senza massa.

Un sistema di riferimento fermo rispetto allo spazio assoluto, o comunque in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso, è privilegiato, in quanto per esso valgono tutti e tre i principi della dinamica. Sistemi di questo tipo vengono detti inerziali. Se invece il sistema di riferimento è accelerato rispetto allo spazio assoluto, esso rileva delle forze che, almeno in apparenza, non sono riconducibili ad interazioni tra i corpi.

Lo spazio assoluto gioca il ruolo di una specie di etere immateriale, rispetto al quale non possiamo rilevare le velocità (per via del principio di relatività ristretta), ma possiamo senz'altro rilevare le accelerazioni. 

Un esempio dell'azione dello spazio assoluto è lo schiacciamento polare della Terra, dovuto all'azione della forza centrifuga.

IL PROBLEMA NELLO SPAZIO-TEMPO

In relatività ristretta, il ruolo dello spazio assoluto è ora giocato dallo spazio-tempo assoluto. Ci sono però anche alcune novità importanti. Torniamo a considerare l'esempio dei due osservatori S ed S', il primo fermo rispetto allo spazio-tempo assoluto e l'altro in moto rotatorio uniforme rispetto a questo. Al posto della massa m poniamo un geometra provvisto di un regolo radiale, appoggiato lungo la congiungente con l'origine degli assi, che misura la distanza dall'origine, e di un piccolo regolo tangenziale, perpendicolare alla direzione radiale, misurante una porzione di circonferenza corrispondente ad un angolo al centro alpha, in radianti. Per S il geometra è fermo. Egli trova che la circonferenza è lunga 2 pi greca volte il raggio. Ma per S' il geometra è in moto circolare uniforme. Il regolo tangenziale si contrae per effetto del moto, mentre quello radiale, perpendicolare alla direzione del moto, mantiene le stesse lunghezze viste da S dato che non c'è contrazione lungo la direzione perpendicolare alla velocità. Se per S  un certo angolo è "coperto" da due regoli unitari, per S' lo stesso angolo è coperto, ad esempio, da tre di questi regoli, per via della contrazione delle lunghezze. Considerando il punto di vista di un osservatore che sta ruotando, per lui il geometra misura il raggio che è uguale, ma la direzione tangenziale si contrae.

Ne consegue che per S' la circonferenza è più lunga di 2 pi greca r  ed il rapporto tra circonferenza e diametro maggiore di pi greca. E' cambiata la geometria! E poiché siamo nello spazio-tempo, ci dobbiamo aspettare anche conseguenze per il battito degli orologi. In effetti già sappiamo che l'orologio del geometra visto da S' va più piano di quello visto da S, per via della dilatazione del tempo associata alla velocità. Il fatto che il rapporto circonferenza-diametro sia superiore a pi greca ? può essere visto come il segnale della curvatura della superficie.

ESEMPIO

Per capirlo meglio consideriamo una superficie sferica e prendiamo un punto su di essa. Da questo punto mandiamo tanti fili della stessa lunghezza in tutte le direzioni, in modo che siano perfettamente aderenti alla superficie sferica. Le loro estremità formeranno un cerchio, inteso come luogo dei punti equidistanti dal centro.

Il raggio di tale cerchio è dato dalla lunghezza del filo, ed è chiaramente maggiore del raggio di una circonferenza identica che appoggia però su una superficie piana. Il rapporto circonferenza-diametro è in questo caso minore di pi greca ??ma è comunque il segnale della presenza di curvatura nella superficie.

Altro esempio: nella geometria euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°. Nella geometria sferica precedentemente considerata, questa somma varia e può raggiungere anche il valore massimo di 270°.

SPAZIO-TEMPO?

Per un moderno newtoniano la situazione è questa: esiste lo spazio-tempo assoluto, che si manifesta attraverso il cambiamento di geometria e del ritmo degli orologi e nella presenza di forze apparenti, ma reali (si pensi allo schiacciamento della Terra ai poli). Tali forze sono un effetto della curvatura dello spazio-tempo, dovuta alla scelta del sistema accelerato. Per sostenere queste idee si deve credere nell'esistenza dello spazio-tempo, anche se essa non è sperimentalmente controllabile, almeno in modo diretto. Questa credenza è certamente metafisica (il che non vuol dire insensata) ed è per questo stata criticata da E. Mach, importante fisico e filosofo di fine ottocento, e dallo stesso Einstein. Secondo i due eminenti scienziati lo spazio non ha un'esistenza indipendente dalla materia, sussiste solo in relazione ad essa.  L'unica cosa che conta sono gli oggetti e le loro reciproche posizioni. Le forze apparenti non sono dovute al moto accelerato rispetto allo spazio-tempo, ma al moto rispetto alle stelle fisse. Se queste idee sono corrette, è chiaro che lo spazio assoluto non ha ragion d'essere e con esso non hanno senso neppure i sistemi galileiani, la cui posizione di privilegio è fondata sull'assunzione metafisica dello spazio-tempo assoluto. Per liberarci dallo spazio assoluto dobbiamo riscrivere la fisica in modo che valga in qualunque riferimento e che non ci siano sistemi privilegiati. Tutti i sistemi di riferimento sono ammessi. Le trasformazioni di Lorentz vanno generalizzate in modo da collegare due qualsiasi sistemi di riferimento. Ciò equivale a riscrivere la fisica in uno spazio-tempo curvo. La teoria così costruita prende il nome di relatività generale. Non potremo certo addentrarci nel problema matematico, che è di notevole difficoltà. Per fortuna di Einstein grandissimi matematici come Gauss, Riemann avevano già prodotto l'apparato matematico necessario allo scopo, cioè la geometria non euclidea. La relatività generale è considerata unanimemente una delle più grandi conquiste del pensiero umano.

PRINCIPIO DI EQUIVALENZA DI EINSTEIN

Ci sono due versioni del Principio di Equivalenza, entrambe dovute ad Einstein:

la versione forte afferma che in un campo gravitazionale qualsiasi è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento che sia localmente inerziale, cioè che in un intorno sufficientemente piccolo del punto le leggi del moto assumono la stessa forma che avrebbero in assenza di gravità;

quella debole asserisce che la massa inerziale (la proprietà intrinseca del corpo materiale di opporsi alle variazioni di moto) e la massa gravitazionale (la proprietà di un corpo di essere sorgente e di subire l'influsso di un campo gravitazionale) sono numericamente uguali.

Immaginiamo una larga porzione di spazio vuoto, così lontana da astri e da altre masse di grandezza apprezzabile, da fornirci approssimativamente le condizioni richieste dal principio fondamentale di Galileo. E' allora possibile scegliere per questa parte di spazio (mondo) un corpo di riferimento galileiano relativamente al quale i punti in quiete rimangono in quiete e i punti in moto continuano in permanenza il moto rettilineo uniforme. Come punto di riferimento immaginiamo una spaziosa cassa che rassomigli ad una stanza, avente nel suo interno un osservatore munito d'apparecchi. Per questo osservatore non esiste naturalmente alcuna gravitazione. Egli deve assicurarsi con corde al pavimento, altrimenti il minimo urto contro di questo lo farebbe salire lentamente verso il soffitto della stanza. Nel mezzo del coperchio della cassa sia fissato esternamente un gancio con una corda attaccata a esso, e supponiamo ora che un "essere" (non ha interesse per noi di quale sorta di essere si tratti) cominci a tirare questa corda con una forza costante. La cassa insieme all'osservatore comincia a muoversi "verso l'alto" di un moto uniforme accelerato. Con l'andar del tempo la loro velocità acquisterà valori inauditi, purché noi si stia osservando tutto ciò da un altro corpo di riferimento che non sia tirato da una corda. Ma come giudicherà questo processo la persona situata nella cassa? L'accelerazione di detta cassa gli verrà trasmessa dalla reazione del pavimento della medesima. Egli deve perciò ricevere questa pressione per mezzo delle gambe, se non vuole rimanere disteso in tutta la propria lunghezza sul pavimento. Egli sta dunque in piedi nella cassa esattamente come chiunque sta in piedi in una stanza di una casa sulla nostra terra. Se egli lascia andare un corpo che prima teneva in mano, l'accelerazione della cassa non sarà più trasmessa a questo corpo, e per tale ragione il corpo si dirigerà verso il pavimento con un moto relativo accelerato. L'osservatore si convincerà ancora di più che l'accelerazione del corpo verso il pavimento della cassa è sempre la stessa, qualunque sia la specie di corpo che egli possa usare per l'esperimento.

Basandosi sulla sua conoscenza del campo gravitazionale la persona nella cassa giungerà così alla conclusione di trovarsi, insieme alla cassa in un campo gravitazionale che è costante rispetto al tempo. Naturalmente egli per un momento si chiederà con stupore come mai la cassa non cade in questo campo gravitazionale. Proprio allora però, egli scopre il gancio nel mezzo del coperchio e la corda che vi è attaccata, e di conseguenza ne conclude che la cassa è sospesa immobile nel campo gravitazionale.

Dobbiamo sorridere di questa persona e dire che essa sbaglia nelle conclusioni che trae? Io credo non possiamo farlo se vogliamo essere conseguenti; dobbiamo invece ammettere che il suo modo di concepire la situazione non contrasta né con la ragione né con le leggi note nella meccanica. Sebbene la cassa risulti accelerata rispetto allo "spazio galileiano" poco fa preso in esame, possiamo nondimeno considerarla come in quiete. Abbiamo così delle buone ragioni per estendere il principio di relatività fino ai corpi di riferimento che sono accelerati l'uno rispetto all'altro, e abbiamo guadagnato un potente argomento a favore di un postulato di relatività generalizzato.

Si osservi attentamente che la possibilità di un siffatto metodo di interpretazione poggia sulla proprietà fondamentale del campo gravitazionale di dare a tutti i corpi la stessa accelerazione, o, ciò che viene ad essere la stessa cosa, sulla legge dell'uguaglianza fra massa inerziale e massa gravitazionale. Se non valesse questa legge naturale la persona che si trova nella cassa sottoposta ad accelerazione non sarebbe in grado di interpretare il comportamento dei corpi che la circondano mediante l'ipotesi di un campo gravitazionale, e non avrebbe il diritto, in base ad alcuna esperienza, di supporre che il suo corpo di riferimento sia "in quiete".

Il campo gravitazionale è, almeno localmente, equivalente ad un sistema di riferimento accelerato, che, come già visto, è associato alla curvatura dello spazio-tempo.

Il principio di relatività generale permette quindi di associare la gravitazione alla curvatura dello spazio-tempo secondo lo schema che segue

Secondo il principio d'equivalenza di Einstein, un campo gravitazionale è quindi indistinguibile da un sistema accelerato, per via dell'uguaglianza tra massa inerziale e massa gravitazionale. D'altra parte, un sistema accelerato è inevitabilmente associato alla curvatura dello spazio-tempo. Si fa perciò strada l'idea che il campo gravitazionale sia semplicemente una manifestazione della curvatura dello spazio-tempo dovuta alla presenza delle masse.

I PIANETI...

Una massa, ad esempio quella del Sole, incurva lo spazio-tempo; la Terra si muove quindi in uno spazio curvo, seguendo la traiettoria più breve, detta geodetica, che non è più una retta, come nella geometria euclidea, ma, con ottima approssimazione, un'ellisse (quella di Keplero).

La teoria di Newton estesa ai problemi di più corpi riesce a rendere conto di tutte le varie anomalie del moto dei pianeti tranne una: la precessione del perielio di Mercurio. In altre parole l'orbita di Mercurio non si chiude esattamente al punto di partenza ma ad ogni rivoluzione si sposta leggermente verso la direzione da cui arriva, cioè "precede" il punto di chiusura dell'orbita. Anche la Luna subisce questo effetto solo che per la Luna tale precessione è giustificata dalle perturbazioni del Sole ed altre note, mentre nessun effetto perturbativo su Mercurio giustifica il valore trovato: 43" ogni secolo. Un angolo piuttosto piccolo, ma pur sempre un neo nella teoria di Newton. Anche per spiegare questo effetto occorrerà attendere la teoria della Relatività Generale di Einstein.

La teoria prevede che l'orbita non sia chiusa. Il perielio di Mercurio, secondo le previsioni di Einstein, dovrebbe ruotare attorno al Sole con una velocità angolare di 43 secondi d'arco in un secolo, in ottimo accordo con le osservazioni.

CONTROLLI SPERIMENTALI

Se, come abbiamo detto, lo spazio è curvo, lo è per tutti gli oggetti che vi si muovono, luce compresa.

Se un raggio proveniente da una stella P e diretto sulla Terra T passa vicino al Sole S e viene leggermente incurvato, TS non è più allineato con SP.  La luce proveniente dalla stella P viene deflessa dal Sole S, falsando le osservazioni astronomiche terrestri. La stella viene infatti avvistata in Q.

Sfortunatamente, l'unico momento in cui noi, dalla Terra, possiamo vedere una stella nella sua effettiva posizione, allineata con il Sole, è durante un'eclisse solare totale. Certo, dobbiamo essere particolarmente fortunati, perché proprio durante l'eclisse ci devono essere numerose stelle nella direzione da prendere in esame. Una spedizione inviata a Sobral, in Brasile, guidata da A. Eddington, riuscì ad osservare il fenomeno durante l'eclisse del 29 maggio 1919. Qualche anno fa Bruno Bertotti (Pavia), Luciano Jess (Roma), Paolo Tortora (Bologna) hanno verificato le previsioni di Einstein con una precisione di 20 parti su un milione, sfruttando la sonda Cassini, in arrivo a Saturno.

D'estate la sonda si trovava dalla parte opposta rispetto al Sole, con un allineamento Terra-Sole-sonda quasi perfetto. I segnali radio della sonda passavano quindi molto vicini al Sole, realizzando le condizioni ideali per la misura della deviazione. Molto del merito va anche all'antenna di bordo della sonda Cassini, costruita da Alenia Spazio per conto dell'agenzia spaziale italiana.

RITARDO DI UN OROLOGIO IN UN CAMPO GRAVITAZIONALE

Consideriamo due orologi il più possibile precisi (l'esperimento è stato realizzato con orologi atomici), uno posto a terra, l'altro su di un aeroplano, che vola per esempio a una quota di 10.000 m.

Le due misurazioni risultano effettivamente diverse: il tempo ad alta quota, dove il campo gravitazionale è minore, sembra correre più velocemente rispetto al suolo.

Esperienza di Pound e Rebka (1960)

Un fotone ad un'altezza H possiede energia "cinetica" h (ni) ed energia potenziale gravitazionale mgH = (h(ni)gH) /c² in cui m = h(ni) /c² . Al suolo, solo energia cinetica h(ni)'.

Le due espressioni devono coincidere, poiché l'energia si conserva

ovvero

Il ritmo degli orologi rallenta in un campo gravitazionale.

L'effetto è molto piccolo, ma è stato controllato da Pound e Rebka sfruttando l'effetto Moessbauer.

Aumentando il campo gravitazionale il tempo rallenta fino a fermarsi e addirittura ad invertire il senso di marcia: è quanto succede all'interno di un buco nero!