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Fondamenti di termofluidodinamica - Cenni di fluidodinamica

tecnica


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Fondamenti di      termofluidodinamica

5.1 Cenni di fluidodinamica

     

Per lo studio del moto dei fluidi sono fondamentali le leggi della:

a) conservazione della massa;

b) variazione della quantità di moto (seconda legge di Newton della dinami 424b13e ca);

c) conservazione dell'energia (primo principio della termodinamica);

d) evoluzione dell'energia (secondo prinicipio della termodinamica).

Nella formulazione di queste leggi si considera il fluido come un mezzo continuo, omogeneo e isotropo.

La seconda legge di Newton della dinami 424b13e ca fornisce una relazione tra le forze agenti su un sistema e lo stato esterno (velocità, accelerazione) del sistema, le altre sono necessarie per determinare le proprietà termodinamiche (temperatura, pressione, entalpia, entropia, ecc.) che influenzano o caratterizzano il moto del sistema.

Nelle applicazioni alle macchine a fluido non sono le velocità e le proprietà termodinamiche in ciascun punto del sistema che ci interessano, ma piuttosto quelle medie, e gli scambi globali di energia tra fluido e organi delle macchine.

Si farà pertanto l'ipotesi di moto permanente (o stazionario), nonchè l'ipotesi di flusso uni- dimensionale.

Si ricavano quindi le espressioni fondamentali della fluidodinamica in forma integrale per un volume di controllo, con particolare riferimento a condizioni stazionarie di moto.

5.1.1 Conservazione della massa

Consideriamo la regione  c  delimitata dai confini A1 (ingresso), A2 (uscita) e di superficie Ac.



Sia m(t) la massa di fluido in c all'istante t e m(t + t) = m(t) +  m la massa di fluido in in   all'istante t +  t. Indicando con  mf1 la massa che entra e con  mf2 la massa di fluido che esce dalla regione   nell'intervallo di tempo  t è, per la conservazione della massa:        m = mc + mf2 - mf1 = 0

dividendo per t e passando al limite per t 0 si ha, tenendo conto che il vettore di superficie  è (fig. 5.1) orientato verso l'esterno:

                                     

Figura 5. 1

Attraverso i confini individuati dalla superficie Ac - (A1 + A2) non si hanno trasferimenti di massa, ma solo di calore Qc e di lavoro Li (per mezzo di albero rotante) e quindi si ottiene:

                                                                                     

e quindi:

                                                   

che nel caso di moto stazionario si semplifica in:

                                                                

espressione che prende il nome di equazione di continuità e dice che il flusso netto di massa rimane costante e quindi non ci sono accumuli di liquido.

Ora seguiamo lo stesso procedimento per la quantità di moto.

                                              

dividendo per t e passando al limite per t 0 si ha :

                          

ed essendo:

                                                      

in quanto attraverso la superficie Ac - (A1 + A2) non si ha trasferimento di massa, si ottiene:

                                               

che in condizioni stazionarie si semplifica in:

                                                             

 comprende:

- la forza che complessivamente le pareti solide esercitano sul fluido per reazione alle forze di pressione e di attrito trasmesse dal fluido;

- la risultante delle forze di pressione (positive nella direzione del moto) trasmesse al sistema in A1 ed A2 dal fluido contiguo. Essendo  orientato verso l'esterno, essa è pari a:

                                                            

- la risultante delle forze di attrito trasmesse al sistema in A1 e A2 dal fluido contiguo.                       Questa è in genere trascurabile rispetto alle altre;

- la risultante delle forze di gravità (peso del sistema) pari a:

                                                              

dove è il peso per unità di volume.

Otteniamo quindi l'espressione:

                              

Se il moto è unidimensionale oltre che stazionario e se il peso è trascurabile, come in genere è per i fluidi comprimibili, si ottiene l'espressione semplificata

                              - p1 A1- p2 A2  = 2 c2 cos2 A2 + 1 c1 cos1 A1

dove 1 e 2 sono gli angoli che le velocità formano con i versori  normali alle sezioni A1 e A2 ed essendo per l'equazione di continuità:

                                                   1 c1 cos1 A1 = 2 c2 cos2 A2 = m

si ha:

                                                  - p1 A1 - p2 A2  = m( - )

5.1.2 Momento della quantità di moto

Il momento risultante MO rispetto ad un punto fisso O, in un sistema di riferimento inerziale, delle forze esterne applicate ad un sistema è dato da:

                                                                     

dove è il momento della quantità di moto del sistema rispetto al punto O.



Con riferimento al sistema di massa m compreso nell'istante t nel volume c, indichiamo con  il raggio vettore, dal punto O, di un elemento dV del volume di controllo c  si ottiene, in condizioni stazionarie:

                                                        

Perlopiù nelle applicazioni si considera il momento assiale Ma rispetto ad un asse fisso, in un sistema di riferimento inerziale, delle forze applicate al sistema fluido dall'esterno. Indicando con cu la componente tangenziale, in un piano normale all'asse aa (vedi figura 5.2), della velocità di un elemento fluido distante r dall'asse aa, il momento Ma rispetto a tale asse è:

                                                            Ma =

Figura 5. 2

Se il moto è unidimensionale oltre che stazionario l'espressione si semplifica diventando.

                                             Ma = r2 cu2  2  cos2 A2 + r1 cu1 1 cos1 A1

e tenedo conto dell'equazione di continuità:

                                                                Ma = m (r2 cu2 - r1 cu1)

Energia

La conservazione dell'energia di un sistema fluido scritto in forma euleriana assume la forma:

                                                                   Qe + L = lim

                                                                     t0

dove:

                                                                L = Li -

Elaborando il termine nell'integrale:

                                                                 

La variazione complessiva di energia del sistema vale:

                                     E= E (t + t) -E (t) = Ec (t + t) + Ef2 - Ef1 - E(t)

indicando con E la somma dei termini:

                                                                   E = U +  + gz

il limte si esprime con:

                                                   

e quindi:

                                            Qe + Li =

con:

                                                            Ef = E + pv = i +   + gz

in condizioni stazionarie ( ) si ha:

                                             Qe + Li =

e se il moto è unidimensionale, oltre che stazionario:

                                               Qe + Li = m [ i2 - i1 +  + g (z2 -z1)]

Per quanto riguarda il II principio della termodinamica di solito nelle applicazioni ci interessa la differenza di entropia fra le sezioni A1 e A2 attraversate da una corrente fluida in moto stazionario ed unidimensionale. Tale differenza si determina, per un gas perfetto, integrando la:

                                                                 dS = cp

fra gli stati che si hanno nelle sezioni suddette:

                                                          S2 - S1 = cpln

per il vapore i valori di S2 e S1 dell'entropia si leggono sul diagramma di Mollier in corrispondenza dei punti che rappresentano lo stato nelle sezioni A1 e A2.

5.1.3 Applicazione alle turbomacchine

Consideriamo una turbina semplice caratterizzata da una corona di palette che delimitano con lo statore, in cui sono infisse, tanti condotti di forma opportuna (distributore) nei quali il fluido si espande, e da una corona di palette che, solidali con il rotore, delimitano con l'involucro esterno  una serie di condotti mobili (girante). Questi fronteggiano i condotti fissi con opportuna orientazione, raccogliendo lavoro dal fluido scaricato dal distributore ad elevata velocità. Nella girante il fluido può subire o meno una ulteriore espansione.                                 

condizioni:                                                     

     ingresso distributore 0;

     uscita distributore/ingresso girante 1;

     uscita girante 2.

Portate in massa fluido motore

                                                             m = 1 A1 ca1 = 2 A2 ca2

dove:                                                             A1 = 1 d1 l1




                                                                       A2 = 2 d2 l2

in genere d = d1 = d2  con :

d: diametro medio della palettatura mobile;

l1: altezza della palettatura all'ingresso;

l2: altezza palettatura all'uscita della girante;

1, 2: coefficenti di ingombro che tengono conto dell'influenza dello spessore delle palette.

 

Triangoli delle velocità

Per lo studio delle turbomacchine col metodo unidimensionale si utilizzano i triangoli dei vettori    all'ingresso e    dei condotti mobili.

 sono le velocità del fluido relative alla girante, mentre  sono le velocità  periferiche della girante ai raggi medi r1 e r2.

Le velocità  assolute, relative e periferiche (trascinamento) sono legate dalla relazione:

                                                                   

La rappresentazione consueta dei triangoli di velocità è del tipo:

Figura 5. 3

1 = angolo della velocità assoluta in ingresso;

2 = angolo della velocità relativa in ingresso;

1 = angolo della velocità assoluta in uscita;

2 = angolo della velocità relativa in uscita.

Per la turbina assiale è in genere u1 = u2 e la retta rr rappresenta la direzione assiale.

Coppia motrice

 

Per la determinazione della coppia motrice applichiamo l'espressione:

                                                                 Ma = m(r2cu2 - r1cu1)

fra le sezioni di ingresso e di uscita della girante considerando come asse aa quello di rotazione dell'albero. Le forze di pressione trasmesse in A1 e A2 hanno momento  nullo rispetto all'asse di rotazione; analogamente le forze di gravità. Pertanto Ma è pari alla somma dei momenti impressi al fluido dalla girante e dalla superficie dello statore che delimita i condotti mobili. Il contributo di quest'ultima è in genere tracurabile e quindi la coppia motrice (uguale ed opposta alla coppia impressa dalla girante al fluido) è data da:

                                                                   c = m(cu1 r1 - cu2r2)

Lavoro massico interno

La potenza Pi che la girante riceve dal fluido è, indicando con la sua velocità angolare:

                                            Pi = c  = m(r1cu1 - r2 cu2)  = m(u1cu1 - u2cu2)

ed il lavoro massico interno Li è dato da:

                                                              Li =    = u1cu1 - u2cu2

e per la turbina assiale diventa, per u1 = u2 = u:

                                                                     Li = u (cu1 - cu2)

E'utile ricavare una diversa espressione di Li dall'equazione dell'energia applicata ad una turbina (nella conversione che considera positivo il lavoro fatto dal fluido sulla macchina): Qe - Li =  i +  Ec + ...

Il flusso può essere considerato adiabatico (Qe = 0) a meno che le palette non siano refrigerate, in quanto il calore trasmesso all'esterno è trascurabile rispetto alle variazioni di energia che il fluido subisce nella macchina.

Si ha pertanto:                                          Li = - i - Ec - ...

Applicata al distributore (0 - 1) si ottiene:

                                                              -i01= Ec01 =

che scritta per la girante (1 - 2) nel moto ad essa relativo si ha:

                                                              i12 + Ecr12 + Ecf12 = 0

dove:

                                                                  Ecr12 =

                                                   

rappresenta la variazione di energia dovuta al campo di forze centrifughe.

La caduta di entalpia nella girante vale:

                                                        i12 =

applicandola fra le sezioni di uscita e di ingresso nella turbina (0 - 2) si ha:

                 Li = -i01 - i12 - Ec =

                                              

Applicando il teorema ci Carnot ai triangoli di velocità:

                                    w12 = c12 + u12 - 2 c1 u1 cos1  = c12 + u12 - 2 u1 cu1

                                     w22 = c22 + u22 - 2 c1 u1 cos2= c22 + u22 - 2 u2 cu2

e sottraendo membro a membro:

                                   u1 cu1 - u2 cu2 =

coincidente con l'espressione di Li ricavata mediante la relazione della coppia motrice.







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